Lektion 2.1

Terme mit Variablen aufstellen und auswerten

15 min Lesezeit

Ein Fahrradverleih nimmt 6 Euro Grundgebühr. Dazu kommen 3 Euro für jede Stunde, die du fährst. Für 2 Stunden rechnest du 6 + 3 · 2 = 12 Euro. Für 5 Stunden rechnest du 6 + 3 · 5 = 21 Euro.

Der Verleiher will keine lange Preistabelle aufhängen. Er will einen Ausdruck, der für jede Dauer gilt. Dafür nimmt er einen Buchstaben für die Stunden und schreibt den Preis mit diesem Buchstaben auf.

In dieser Lektion lernst du, wie du solche Ausdrücke aufstellst, für bestimmte Zahlen ausrechnest und vereinfachst. Am Ende nutzt du sie, um Muster in Zahlenfolgen zu beschreiben.

Definition

Variable, Veränderliche und Unbekannte

Einen Buchstaben, der für eine Zahl steht, nennst du Variable. Beim Verleih heißt die Zahl der Stunden $h$ . Der Preis in Euro ist der Term $6 + 3h$ . Für $h$ darfst du viele Zahlen einsetzen. Deshalb nennt man $h$ hier auch Veränderliche.

Fragst du „Wie lange bin ich gefahren, wenn ich 21 Euro bezahlt habe?“, entsteht die Gleichung $6 + 3h = 21$ . Jetzt suchst du genau eine Zahl für $h$ . Dann heißt $h$ die Unbekannte. Es ist derselbe Buchstabe mit einer anderen Rolle.

Zwischen einer Zahl und einer Variablen lässt du das Malzeichen weg: $3h$ heißt $3 \cdot h$ . Das gilt auch zwischen zwei Variablen: $ab$ heißt $a \cdot b$ . Ein Produkt aus gleichen Variablen schreibst du als Potenz: $x \cdot x = x^2$ . Statt $1 \cdot x$ schreibst du $x$ .

3h = 3 \cdot h \qquad ab = a \cdot b \qquad x \cdot x = x^2

Definition

Terme aufstellen

Einen Term aufstellen heißt, eine Situation oder einen Text in einen Rechenausdruck mit Variablen zu übersetzen. So gehst du vor:

Lege fest, wofür die Variable steht, mit Einheit. Zum Beispiel: $h$ ist die Zahl der Stunden.
Suche die Rechenarten. „Mehr“, „dazu“ und „Summe“ zeigen Plus. „Weniger“, „abziehen“ und „Differenz“ zeigen Minus. „Mal“, „doppelt“, „je“ und „Produkt“ zeigen Mal. „Geteilt“, „Hälfte“ und „Quotient“ zeigen Geteilt.
Überlege, was zuletzt gerechnet wird. Wenn nötig, setze Klammern.

Zur Kontrolle setzt du eine Zahl ein und vergleichst mit einer Rechnung, die du schon kennst. Für $h = 2$ muss $6 + 3h$ den Wert 12 ergeben.

Beispiel

Terme aus Texten

Stelle einen Term auf. Die Variable heißt jeweils $n$ .

a) Eine Zahl wird verdoppelt, danach wird 5 abgezogen.
b) Die Summe aus einer Zahl und 4 wird verdreifacht.
c) Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit. Die Breite ist $n$ cm. Wie groß ist der Umfang?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2n - 5 \\ \text{b)}\; & 3 \cdot (n + 4) \\ \text{c)}\; & 2 \cdot n + 2 \cdot (n + 3) \end{aligned}

In a) wird zuerst verdoppelt und dann abgezogen. In b) wird zuletzt mit 3 multipliziert. Die Summe muss deshalb in Klammern stehen. Ohne Klammern würde nur $n$ mit 3 multipliziert. In c) hat das Rechteck die Breite $n$ und die Länge $n + 3$ . Der Umfang ist zweimal die Breite plus zweimal die Länge. Kontrolle mit $n = 5$ : Die Länge ist 8 cm, der Umfang $2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26$ cm. Der Term liefert $2 \cdot 5 + 2 \cdot (5 + 3) = 10 + 16 = 26$ . Das passt.

Definition

Termwert

Setzt du für die Variable eine Zahl ein und rechnest aus, bekommst du den Termwert. Du setzt überall dort ein, wo die Variable steht, und rechnest nach den Vorrangregeln. Jetzt darfst du auch negative Zahlen einsetzen. Setze sie immer in Klammern, damit Vorzeichen und Rechenzeichen nicht zusammenstoßen. Kommen mehrere Variablen vor, ersetzt du alle gleichzeitig.

Beispiel

Termwerte berechnen

Berechne den Termwert.

a) $3x - 4$ für $x = -2$
b) $x^2 - 2x$ für $x = -3$
c) $2a + b^2$ für $a = 3$ und $b = -1$

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3 \cdot (-2) - 4 = -6 - 4 = -10 \\ \text{b)}\; & (-3)^2 - 2 \cdot (-3) = 9 + 6 = 15 \\ \text{c)}\; & 2 \cdot 3 + (-1)^2 = 6 + 1 = 7 \end{aligned}

In b) wird die ganze Zahl $-3$ quadriert: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . Dann kommt $-2 \cdot (-3) = +6$ , denn Minus mal Minus ist Plus. In c) setzt du beide Zahlen gleichzeitig ein und rechnest nach den Vorrangregeln: Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich.

Beispiel

Einen Term deuten

Ben hat 20 Euro und kauft $x$ Eis zu je 2 Euro. Was bedeutet der Term $20 - 2x$ ? Berechne den Wert für $x = 4$ und für $x = 11$ . Was fällt auf?

x = 4: \; 20 - 2 \cdot 4 = 12 \qquad x = 11: \; 20 - 2 \cdot 11 = -2

Der Teil $2x$ sind die Kosten für $x$ Eis. Der Term $20 - 2x$ zeigt, wie viel Geld Ben übrig behält. Für 4 Eis sind es 12 Euro. Für 11 Eis kommt $-2$ heraus. Rechnerisch ist das erlaubt. In der Sache ergibt es nur für $x$ von 0 bis 10 einen Sinn, denn Ben kann nicht mehr Geld ausgeben, als er hat. Du deutest also die Teile eines Terms und prüfst, welche Zahlen in der Situation vorkommen können.

Definition

Gleichartige Terme zusammenfassen

Du hast 3 Äpfel und bekommst 5 Äpfel dazu. Dann hast du 8 Äpfel. Mit Variablen geht es genauso: $3x + 5x = 8x$ . Das Distributivgesetz begründet es: $3x + 5x = (3 + 5) \cdot x = 8x$ .

Das klappt nur bei gleichartigen Termen. Sie haben dieselbe Variable mit demselben Exponenten und unterscheiden sich höchstens im Zahlenfaktor. Die Terme $3x$ und $5x$ sind gleichartig, $3x$ und $5x^2$ nicht, und $3x$ und $5y$ auch nicht. Zahlen ohne Variable sind untereinander gleichartig. So wie 3 Äpfel und 5 Birnen keine 8 Äpfel ergeben, bleibt $3x + 5y$ stehen.

Das Vorzeichen vor einem Term gehört zu ihm. Ein $x$ ohne Zahl davor hat den Faktor 1, ein $-x$ den Faktor $-1$ .

3x + 5x = 8x \qquad 7y - 2y = 5y \qquad 4x + 3y \text{ bleibt so}

Beispiel

Terme zusammenfassen

Fasse zusammen.

a) $4x + 3 - x + 7$
b) $5a - 2b + 3a + 6b - a$
c) $x^2 + 3x + 2x^2 - x$

\begin{aligned} \text{a)}\; & (4x - x) + (3 + 7) = 3x + 10 \\ \text{b)}\; & (5a + 3a - a) + (-2b + 6b) = 7a + 4b \\ \text{c)}\; & (x^2 + 2x^2) + (3x - x) = 3x^2 + 2x \end{aligned}

Du sortierst die Terme nach ihrer Art und fasst jede Gruppe zusammen. In a) rechnest du $4 - 1 = 3$ für die $x$ und $3 + 7 = 10$ für die Zahlen. In b) hat das letzte $a$ den Faktor $-1$ , also $5 + 3 - 1 = 7$ . Bei den $b$ rechnest du $-2 + 6 = 4$ . In c) sind $x^2$ und $x$ nicht gleichartig. Sie bleiben getrennt.

Terme vom Werkzeug zusammenfassen lassen

1Ordnen
Gleichartige Terme nebeneinander schreiben: Terme mit denselben Variablen und Exponenten lassen sich zusammenfassen.
$\displaystyle 3x + 5 + 2x - 8 = \left(3x + 2x\right) + \left(5 - 8\right)$
2Zusammenfassen
Zahlenfaktoren addieren:
$\displaystyle = 5x - 3$

Ergebnis $\displaystyle 5x - 3$

Drücke auf „Rechnen“. Das Werkzeug zeigt, wie es gleichartige Terme nebeneinander stellt und zusammenfasst. Rechne danach 4x + 3 - x + 7 zuerst im Kopf und gib den Term dann ein. Vergleiche mit deinem Ergebnis aus dem Beispiel.

Definition

Zahlenfolgen mit Variablen beschreiben

Aus Streichhölzern legst du eine Kette von Quadraten. Ein Quadrat braucht 4 Streichhölzer, zwei Quadrate nebeneinander brauchen 7, drei Quadrate brauchen 10. Die Zahlen 4, 7, 10, ... bilden eine Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder.

Du suchst einen Term, der das Glied für jede Zahl $n$ von Quadraten liefert. Die Folge wächst von Glied zu Glied um 3. Deshalb kommt $3n$ im Term vor. Für $n = 1$ ergibt $3n$ nur 3, du brauchst aber 4. Es fehlt 1. Der Term heißt $3n + 1$ . Der Grund: Das erste Quadrat braucht 4 Streichhölzer, jedes weitere Quadrat nur 3 neue. Kontrolle: $n = 2$ gibt 7, $n = 3$ gibt 10, $n = 4$ gibt 13.

4,\; 7,\; 10,\; 13,\; \dots \qquad 3n + 1

Beispiel

Einen Folgenterm finden und nutzen

Eine Zahlenfolge beginnt mit 5, 9, 13, 17 und läuft gleichmäßig weiter. Finde den Term für das Glied an der Stelle $n$ . Berechne das 20. Glied und finde die Stelle, an der 101 steht.

\begin{aligned} \text{Term:}\quad & 4n + 1 \\ n = 20: \quad & 4 \cdot 20 + 1 = 81 \\ 4n + 1 = 101: \quad & n = (101 - 1) : 4 = 25 \end{aligned}

Die Folge wächst um 4. Also kommt $4n$ im Term vor. Für $n = 1$ ergibt $4n$ den Wert 4, gesucht ist 5. Es fehlt 1, der Term lautet $4n + 1$ . Kontrolle: $n = 3$ gibt 13. Für das 20. Glied setzt du $n = 20$ ein und bekommst 81. Bei der Frage nach der 101 hast du eine Gleichung. Du rechnest rückwärts: $101 - 1 = 100$ und $100 : 4 = 25$ . Die 101 steht an der 25. Stelle.

Häufige Fehler

Ungleichartige Terme zusammenfassen

Jemand fasst $3x + 4$ zu $7x$ zusammen und $x + x^2$ zu $2x^2$ .

Richtig ist

Nur gleichartige Terme darfst du zusammenfassen. Die Probe mit $x = 2$ zeigt den Fehler: $3 \cdot 2 + 4 = 10$ , aber $7 \cdot 2 = 14$ . Auch $x$ und $x^2$ sind nicht gleichartig. Für $x = 3$ ist $x + x^2 = 12$ , aber $2x^2 = 18$ .

Häufige Fehler

Negative Zahlen ohne Klammern einsetzen

Jemand setzt $x = -3$ in $x^2$ ein und rechnet $x^2 = -3^2 = -9$ .

Richtig ist

Die ganze Zahl wird quadriert: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . Ohne Klammern bedeutet $-3^2$ etwas anderes, nämlich $-(3^2) = -9$ . Setze deshalb negative Zahlen immer in Klammern ein.

Zusammenfassung

Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht. In einem Term ist sie eine Veränderliche, in einer Gleichung ist sie die Unbekannte, nach der du suchst.
Beim Aufstellen eines Terms legst du zuerst fest, wofür die Variable steht. Dann suchst du die Rechenarten und setzt Klammern, wo es nötig ist.
Den Termwert berechnest du, indem du die Zahl überall für die Variable einsetzt. Negative Zahlen setzt du in Klammern.
Beim Deuten eines Terms erklärst du seine Teile in der Situation und prüfst, welche Zahlen dort vorkommen können.
Zusammenfassen darfst du nur gleichartige Terme: $3x + 5x = 8x$ . Das Vorzeichen vor einem Term gehört zu ihm.
Wächst eine Zahlenfolge gleichmäßig um $d$ , dann kommt $d \cdot n$ im Term vor. Eine Zahl am Ende gleicht das erste Glied an, zum Beispiel $3n + 1$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne den Termwert von $5x - 2y$ für $x = 4$ und $y = -3$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welcher Term beschreibt „die Hälfte einer Zahl $n$ , um 7 vermehrt“?

Aufgabe 3Numerisch

Fasse $6a - 4 + 2a + 10 - 5a$ zusammen zu $pa + q$ . Wie groß ist $p + q$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Zusammenfassung ist richtig?

Aufgabe 5Numerisch

Eine Zahlenfolge beginnt mit 2, 7, 12, 17 und läuft gleichmäßig weiter. Welche Zahl steht an der 30. Stelle?

Aufgabe 6Freitext

Ein Taxi berechnet 4 Euro Grundpreis und 2 Euro je Kilometer. Stelle einen Term für den Preis bei $k$ Kilometern auf. Berechne den Preis für 12 km. Wie viele Kilometer fährst du für 30 Euro?