Lektion 2.2

Ausmultiplizieren, Ausklammern und binomische Formeln

15 min Lesezeit

Auf dem Schulhof liegt ein quadratisches Beet mit 5 m Seitenlänge. Es wird in beide Richtungen um 2 m erweitert, nach rechts und nach hinten. Das neue Beet ist ein Quadrat mit 7 m Seitenlänge und hat 49 Quadratmeter. Das alte hatte 25 Quadratmeter.

Wo kommen die 24 neuen Quadratmeter her? Du kannst das neue Quadrat zerlegen: ein Quadrat von 5 m mal 5 m, zwei Streifen von 5 m mal 2 m und eine Ecke von 2 m mal 2 m. Das ergibt 25 + 10 + 10 + 4 = 49.

Gilt diese Zerlegung auch, wenn das Beet nicht 5 m, sondern $a$ Meter lang ist? Dafür musst du Klammern auflösen und Summen in Produkte umwandeln können. Das lernst du in dieser Lektion.

Definition

Ausmultiplizieren und Multiplikation von Summen

Das Distributivgesetz kennst du aus Klasse 5-6: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . Es gilt auch mit Variablen und negativen Zahlen. Ausmultiplizieren heißt, eine Klammer mit diesem Gesetz aufzulösen. Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden multipliziert, samt Vorzeichen. Es ist $3 \cdot (x + 4) = 3x + 12$ und $-2 \cdot (x - 5) = -2x + 10$ . In der zweiten Aufgabe gilt: Minus mal Minus ist Plus.

Stehen zwei Summen nebeneinander, multiplizierst du jeden mit jedem. Du betrachtest $(a + b)$ als einen Faktor und verteilst ihn auf $c$ und $d$ . Das ergibt $(a + b) \cdot c + (a + b) \cdot d$ . Dann löst du beide Klammern auf. Es entstehen vier Produkte. Danach fasst du gleichartige Terme zusammen.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel

Ausmultiplizieren

Multipliziere aus.

a) $4(2x - 3)$
b) $(x + 3)(x + 5)$
c) $(2x - 1)(x + 4)$

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4(2x - 3) = 8x - 12 \\ \text{b)}\; & (x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15 \\ \text{c)}\; & (2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4 \end{aligned}

In a) multiplizierst du 4 mit $2x$ und mit $-3$ . In b) entstehen vier Produkte: $x \cdot x$ , $x \cdot 5$ , $3 \cdot x$ und $3 \cdot 5$ . Dann fasst du $5x + 3x$ zusammen. In c) nimmst du das Minus vor der 1 mit: $(-1) \cdot x = -x$ und $(-1) \cdot 4 = -4$ . Probe für c) mit $x = 1$ : Links $(2 - 1)(1 + 4) = 5$ , rechts $2 + 7 - 4 = 5$ .

Definition

Ausklammern und Faktorisieren

Beim Ausklammern gehst du den Weg rückwärts: Du schreibst eine Summe als Produkt. Allgemein heißt es Faktorisieren, wenn du einen Term in ein Produkt umwandelst. Ausklammern ist die einfachste Art davon.

Du suchst einen gemeinsamen Faktor, der in jedem Summanden steckt, und schreibst ihn vor die Klammer. In die Klammer kommt, was übrig bleibt. Die Terme $6x$ und $9$ haben den gemeinsamen Faktor 3, denn $6x = 3 \cdot 2x$ und $9 = 3 \cdot 3$ . Also gilt $6x + 9 = 3(2x + 3)$ .

Nimm den größten gemeinsamen Faktor: bei den Zahlen den größten gemeinsamen Teiler (ggT), bei den Variablen die höchste Potenz, die in allen Summanden steckt. Die Probe geht durch Ausmultiplizieren. Kommt wieder der Ausgangsterm heraus?

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

Beispiel

Ausklammern

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus.

a) $12x + 18$
b) $4x^2 + 6x$
c) $5a - 15ab$

\begin{aligned} \text{a)}\; & 12x + 18 = 6(2x + 3) \\ \text{b)}\; & 4x^2 + 6x = 2x(2x + 3) \\ \text{c)}\; & 5a - 15ab = 5a(1 - 3b) \end{aligned}

In a) ist 6 der ggT von 12 und 18. Du teilst jeden Summanden durch 6: $12x : 6 = 2x$ und $18 : 6 = 3$ . In b) stecken in $4x^2$ und $6x$ der Faktor 2 und ein $x$ , denn $x^2 = x \cdot x$ . Du klammerst $2x$ aus. In c) steht $5a$ in beiden Summanden. Aus $5a$ bleibt nach dem Ausklammern 1 übrig, nicht 0. Probe für c): $5a \cdot 1 + 5a \cdot (-3b) = 5a - 15ab$ .

Definition

Erste binomische Formel

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel $a + b$ oder $x - 3$ . Das Quadrat eines Binoms und das Produkt aus Summe und Differenz folgen festen Mustern. Das sind die binomischen Formeln.

Die erste Formel siehst du am Beet. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ hat die Fläche $(a + b)^2$ . Du teilst jede Seite in die Stücke $a$ und $b$ . Dann zerfällt das Quadrat in ein Quadrat mit der Fläche $a^2$ , ein Quadrat mit der Fläche $b^2$ und zwei Rechtecke mit je der Fläche $ab$ . Im Beispiel ist $a = 5$ und $b = 2$ . Rechnerisch bekommst du dasselbe durch Ausmultiplizieren: $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$ . Dabei ist $ab = ba$ .

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Definition

Zweite und dritte binomische Formel

Zweite Formel: Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat die Fläche $a^2$ . Schneidest du an zwei Seiten einen Streifen der Breite $b$ ab, bleibt ein Quadrat mit der Seitenlänge $a - b$ . Jeder Streifen hat die Fläche $ab$ . Die kleine Ecke $b^2$ liegt in beiden Streifen und wurde doppelt abgezogen. Sie kommt einmal wieder dazu.

Dritte Formel: Aus einem Quadrat mit der Seitenlänge $a$ schneidest du in einer Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge $b$ heraus. Es bleibt eine L-Form mit der Fläche $a^2 - b^2$ . Sie besteht aus einem Rechteck mit den Seiten $a$ und $a - b$ und einem Rechteck mit den Seiten $a - b$ und $b$ . Du drehst das zweite Rechteck und legst es seitlich an das erste. So entsteht ein Rechteck mit den Seiten $a + b$ und $a - b$ .

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Beispiel

Binomische Formeln anwenden

Multipliziere aus.

a) $(x + 4)^2$
b) $(3x - 2)^2$
c) $(2x + 5)(2x - 5)$

\begin{aligned} \text{a)}\; & (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \\ \text{b)}\; & (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4 \\ \text{c)}\; & (2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25 \end{aligned}

Du bestimmst zuerst $a$ und $b$ . In a) ist $a = x$ und $b = 4$ . In b) ist $a = 3x$ und $b = 2$ . Dann gilt $(3x)^2 = 9x^2$ , nicht $3x^2$ . Das mittlere Glied ist $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$ mit Minus. In c) ist $a = 2x$ und $b = 5$ . Das mittlere Glied fällt weg. Probe für b) mit $x = 1$ : Links $(3 - 2)^2 = 1$ , rechts $9 - 12 + 4 = 1$ .

Die binomische Formel im Rechenweg

1Binomische Formel
1. binomische Formel: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ hier mit $a = 2x$ und $b = 3$ .
$\displaystyle (2x + 3)^{2} = \left(2x\right)^{2} + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$

Ergebnis $\displaystyle 4x^{2} + 12x + 9$

Drücke auf „Rechnen“. Das Werkzeug zeigt, welche Werte es für a und b einsetzt. Rechne vorher selbst. Gib danach (x + 3) * (x + 5) ein und vergleiche mit dem ersten Beispiel. Probiere auch x^2 - 9. Das Werkzeug zerlegt den Term in ein Produkt.

Beispiel

Rückwärts und im Kopf

Schreibe als Quadrat oder als Produkt.

a) $x^2 + 10x + 25$
b) $49 - y^2$

Rechne im Kopf.

c) $51^2$
d) $49 \cdot 51$

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \\ \text{b)}\; & 49 - y^2 = (7 + y)(7 - y) \\ \text{c)}\; & 51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \\ \text{d)}\; & 49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499 \end{aligned}

In a) erkennst du $x^2$ und $5^2$ als Quadrate. Das mittlere Glied muss dann $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ sein, und das stimmt. In b) steht eine Differenz aus den Quadraten $7^2$ und $y^2$ . Sie zerfällt in Summe mal Differenz. In c) und d) suchst du eine runde Zahl in der Nähe, hier 50, und wendest die Formeln an.

Häufige Fehler

Das mittlere Glied vergessen

Jemand rechnet $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ .

Richtig ist

Beim Quadrieren einer Summe darfst du nicht jeden Summanden einzeln quadrieren. Das mittlere Glied $2ab$ fehlt. Zum Prüfen: $(4 + 3)^2 = 49$ , aber $4^2 + 3^2 = 25$ . Richtig ist $x^2 + 6x + 9$ . Für $x = 4$ ergibt das $16 + 24 + 9 = 49$ .

Häufige Fehler

Vorzeichen bei der zweiten Formel

Jemand rechnet $(x - 5)^2 = x^2 - 25$ .

Richtig ist

Das Quadrat von $-5$ ist $+25$ , und das mittlere Glied $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$ fehlt. Richtig ist $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$ . Der Term $x^2 - 25$ gehört zu $(x + 5)(x - 5)$ .

Häufige Fehler

Beim Ausklammern die 1 vergessen

Jemand schreibt $6x + 3 = 3 \cdot 2x$ .

Richtig ist

Aus dem Summanden 3 bleibt nach dem Ausklammern von 3 eine 1 übrig. Richtig ist $6x + 3 = 3(2x + 1)$ . Die Probe zeigt es: $3 \cdot 2x = 6x$ , nicht $6x + 3$ .

Zusammenfassung

Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand einer Klammer mit dem Faktor multipliziert, samt Vorzeichen. Bei zwei Summen multiplizierst du jeden mit jedem.
Beim Ausklammern schreibst du eine Summe als Produkt. Du suchst den größten gemeinsamen Faktor und klammerst ihn aus. Die Probe ist das Ausmultiplizieren.
Faktorisieren heißt, einen Term in ein Produkt umzuwandeln. Ausklammern und die binomischen Formeln rückwärts sind Beispiele.
Erste Formel: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Zweite Formel: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Dritte Formel: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ .
Die Formeln folgen aus Flächen von Quadraten und Rechtecken. Das mittlere Glied $2ab$ darfst du bei der ersten und zweiten Formel nicht weglassen.
Du bestimmst vor dem Einsetzen immer $a$ und $b$ . Ist $a$ ein Produkt wie $3x$ , wird es ganz quadriert: $(3x)^2 = 9x^2$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Multipliziere $(x + 6)(x - 2)$ aus. Das Ergebnis hat die Form $x^2 + px + q$ . Wie groß ist $p + q$ ?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welcher Term ist $(2x - 3)^2$ ausmultipliziert?

Aufgabe 3Numerisch

Klammere 5 aus: $15x + 25 = 5(ax + b)$ . Wie groß ist $a + b$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Rechne geschickt mit einer binomischen Formel: $99^2$ . Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 5Multiple Choice

Welcher Term lässt sich als Quadrat eines Binoms schreiben?

Aufgabe 6Freitext

Zerlege $25x^2 - 49$ in ein Produkt und mache die Probe durch Ausmultiplizieren.