Der Betrag $|a|$ einer Zahl $a$ ist ihr Abstand von der 0 auf der Zahlengeraden. Es gilt $|3| = 3$ und $|-3| = 3$. Ein Betrag ist nie negativ. Du kannst die Rechnung in zwei Fällen aufschreiben:

• Ist $a \geq 0$, dann ist $|a| = a$.
• Ist $a < 0$, dann ist $|a| = -a$. Das Minus macht aus der negativen Zahl eine positive. Für $a = -3$ ist $-a = 3$.

Eine Vorschrift mit mehreren Fällen heißt abschnittsweise definiert: Für verschiedene Abschnitte der Zahlengeraden gilt eine andere Rechnung. Du schreibst die Fälle untereinander hinter eine große Klammer.

Eine Gleichung, in der die Unbekannte in einem Betrag steckt, heißt Betragsgleichung. Die einfachste ist $|x| = 4$. Du suchst Zahlen mit dem Abstand 4 von der 0. Das sind 4 und $-4$, also $L = \{-4; 4\}$. Bei $|x| = 0$ gibt es nur die 0. Bei $|x| = -3$ gibt es keine Lösung, denn ein Abstand ist nie negativ.

Steht im Betrag ein Term, zum Beispiel $|x - 2| = 3$, löst du in zwei Fällen. Der Term im Betrag ist entweder 3 oder $-3$. Für eine Zahl $c > 0$ gilt: $|A| = c$ heißt $A = c$ oder $A = -c$. Dabei steht $A$ für den Term im Betrag. Anschaulich ist $x - 2$ der Unterschied zwischen $x$ und 2, und sein Betrag ist der Abstand der beiden Zahlen. Gesucht sind also die Zahlen, die von 2 den Abstand 3 haben.

Du ordnest jeder Zahl $x$ ihren Betrag zu. Eine Vorschrift, die jeder Zahl $x$ genau eine Zahl $y$ zuordnet, heißt auch Funktion. Du schreibst $y = |x|$ oder $f(x) = |x|$ und sprichst „f von x“. Der Ausdruck $f(-3)$ heißt: Setze $-3$ für $x$ ein. Es ist $f(-3) = |-3| = 3$. Diese Funktion heißt Betragsfunktion. Weil der Betrag abschnittsweise definiert ist, gilt dasselbe für die Funktion.

Trägst du die Punkte in ein Koordinatensystem ein, entsteht ein V. Rechts von der 0 liegen die Punkte auf der Geraden $y = x$, links auf der Geraden $y = -x$. Beide Geraden treffen sich im Punkt $O(0|0)$. Der Graph liegt nie unter der $x$-Achse.