Lektion 2.3

Lineare Gleichungen lösen und Formeln umstellen

16 min Lesezeit

Zwei Fahrradverleihe machen Werbung. Verleih A nimmt 5 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Stunde. Verleih B nimmt 2 Euro Grundgebühr und 4 Euro je Stunde. Nach wie vielen Stunden kosten beide gleich viel?

Du kannst probieren. Nach 1 Stunde kostet A 8 Euro und B 6 Euro. Nach 2 Stunden kostet A 11 Euro und B 10 Euro. Nach 3 Stunden zahlst du bei beiden 14 Euro. Das hat geklappt, weil die Zahl klein ist.

Wie findest du die Antwort bei großen Zahlen, ohne lange zu probieren? Das Rückwärtsrechnen aus Klasse 5-6 hilft hier nicht, denn die Unbekannte steht auf beiden Seiten. Es gibt aber ein sicheres Verfahren. Mit ihm stellst du auch Formeln um und löst Sachaufgaben.

Definition

Lineare Gleichung und Lösungsmenge

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, also zum Beispiel als $x$ oder $3x$ , aber nicht als $x^2$ . Der Verleihvergleich führt auf $5 + 3x = 2 + 4x$ .

Die Lösungsmenge $L$ enthält alle Zahlen, die die Gleichung wahr machen. Du schreibst sie in geschweiften Klammern. Beim Verleihvergleich ist es $L = \{3\}$ . Wenn nichts anderes dabeisteht, suchst du Lösungen unter den rationalen Zahlen, also unter Brüchen und Dezimalzahlen, positiv und negativ. Die Probe prüft, ob eine Zahl wirklich dazugehört: Du setzt sie links und rechts ein und rechnest beide Seiten einzeln aus.

Definition

Äquivalenzumformung

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Rechnest du auf beiden Seiten dasselbe, bleibt sie im Gleichgewicht. Die Lösungsmenge ändert sich dabei nicht. Solche Umformungen heißen Äquivalenzumformungen. Erlaubt sind:

auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen. Diese Zahl darf nicht 0 sein.

Die Umformung schreibst du rechts hinter einen senkrechten Strich. Es bedeutet $\mid -3x$ : Auf beiden Seiten wird $3x$ abgezogen. Ziel ist, die Unbekannte allein auf eine Seite zu bringen. Dazu sortierst du erst: Terme mit $x$ nach links, Zahlen nach rechts. Dann teilst du durch den Faktor vor $x$ . Klammern löst du vorher auf, und gleichartige Terme fasst du zusammen.

Beispiel

Die Verleihe vergleichen

Löse $5 + 3x = 2 + 4x$ und mache die Probe.

\begin{aligned} 5 + 3x &= 2 + 4x && \mid -3x \\ 5 &= 2 + x && \mid -2 \\ 3 &= x \end{aligned}

Zuerst ziehst du auf beiden Seiten $3x$ ab. Dann steht $x$ nur noch rechts. Danach ziehst du 2 ab. Es bleibt $3 = x$ , also $x = 3$ und $L = \{3\}$ . Probe: Links $5 + 3 \cdot 3 = 14$ , rechts $2 + 4 \cdot 3 = 14$ . Nach 3 Stunden kosten beide Verleihe gleich viel.

Beispiel

Mit Klammern, negativen Zahlen und Brüchen

Löse und mache die Probe.

a) $3(x - 2) + 4 = 2x + 5$
b) $-4x + 7 = 19$
c) $\frac{x}{2} + 3 = 7$

\begin{aligned} \text{a)}\; 3x - 6 + 4 &= 2x + 5 \\ 3x - 2 &= 2x + 5 && \mid -2x \\ x - 2 &= 5 && \mid +2 \\ x &= 7 \\[0.6em] \text{b)}\; -4x + 7 &= 19 && \mid -7 \\ -4x &= 12 && \mid : (-4) \\ x &= -3 \\[0.6em] \text{c)}\; \frac{x}{2} + 3 &= 7 && \mid -3 \\ \frac{x}{2} &= 4 && \mid \cdot 2 \\ x &= 8 \end{aligned}

In a) löst du zuerst die Klammer auf und fasst zusammen: $-6 + 4 = -2$ . Probe: Links $3 \cdot 5 + 4 = 19$ , rechts $2 \cdot 7 + 5 = 19$ . In b) teilst du durch $-4$ . Probe: $-4 \cdot (-3) + 7 = 12 + 7 = 19$ . In c) hebst du das Teilen durch 2 mit Malnehmen auf. Probe: $\frac{8}{2} + 3 = 7$ .

Beispiel

Sonderfälle

Löse a) $2x + 3 = 2x + 5$ und b) $2(x + 1) = 2x + 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; 2x + 3 &= 2x + 5 && \mid -2x \\ 3 &= 5 \\[0.6em] \text{b)}\; 2x + 2 &= 2x + 2 && \mid -2x \\ 2 &= 2 \end{aligned}

In a) verschwindet $x$ ganz. Übrig bleibt $3 = 5$ , und das ist falsch. Für keine Zahl wird die Gleichung wahr. Die Lösungsmenge ist leer, man schreibt $L = \{\}$ . In b) steht links nach dem Ausmultiplizieren dasselbe wie rechts. Es bleibt $2 = 2$ , und das ist wahr, egal was für $x$ steht. Dann ist jede rationale Zahl eine Lösung: $L = \mathbb{Q}$ . Prüfe mit $x = 10$ : Links $2 \cdot 11 = 22$ , rechts $20 + 2 = 22$ .

Gleichungen vom Werkzeug lösen lassen

1Lineare Gleichung
Die Unbekannte $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, es ist eine lineare Gleichung. Ziel ist, $x$ allein auf eine Seite zu bringen. Dafür darf man auf beiden Seiten dasselbe rechnen (Äquivalenzumformung): Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Die Umformung steht jeweils rechts neben dem Strich.
$\displaystyle 5x - 4 = 2x + 8$
2Äquivalenzumformung
Alle Terme mit $x$ nach links: auf beiden Seiten $2x$ abziehen.
$\displaystyle \begin{aligned} 5x - 4 &= 2x + 8 && \mid\; - 2x \\ 3x - 4 &= 8 \end{aligned}$
3Äquivalenzumformung
Die Zahl $-4$ nach rechts bringen: auf beiden Seiten $4$ addieren.
$\displaystyle \begin{aligned} 3x - 4 &= 8 && \mid\; + 4 \\ 3x &= 12 \end{aligned}$
4Äquivalenzumformung
Durch den Faktor vor $x$ teilen, also durch $3$ .
$\displaystyle \begin{aligned} 3x &= 12 && \mid\; : 3 \\ x &= 4 \end{aligned}$
5Probe
Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung bestätigt jede Lösung.
$\displaystyle \begin{aligned} x = 4: \quad & 16 = 16 \quad \checkmark \end{aligned}$
6Lösungsmenge
Damit ist die Lösungsmenge:
$\displaystyle L = \left\{ 4 \right\}$

Ergebnis $\displaystyle L = \left\{ 4 \right\}$

Drücke auf „Rechnen“. Das Werkzeug zeigt jede Umformung mit dem senkrechten Strich. Löse die Gleichung vorher selbst und vergleiche. Probiere dann 2x + 3 = 2x + 5 aus. Es ist der Sonderfall a) von eben.

Definition

Formeln umstellen und Parameter

Eine Formel ist eine Gleichung mit mehreren Buchstaben, zum Beispiel $U = 2a + 2b$ für den Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ . Oft ist eine andere Größe gesucht, etwa die Breite $b$ bei bekanntem Umfang und bekannter Länge. Dann löst du die Formel nach $b$ auf: Du formst so um, dass $b$ allein auf einer Seite steht. Die anderen Buchstaben behandelst du wie Zahlen. Es gelten dieselben Äquivalenzumformungen.

Ein Buchstabe, der in einer Gleichung für eine feste, aber beliebige Zahl steht, heißt Parameter. In $ax + 3 = 11$ ist $x$ die Unbekannte und $a$ ein Parameter. Du löst nach $x$ auf, und das Ergebnis enthält $a$ . Wenn du durch einen Parameter teilst, musst du beachten, dass er nicht 0 sein darf.

Beispiel

Formeln und Gleichungen mit Parametern umstellen

Löse nach der genannten Größe auf.

a) $U = 2a + 2b$ nach $b$
b) $v = \frac{s}{t}$ nach $t$ (mit $t \neq 0$ und $v \neq 0$ )
c) $ax + b = c$ nach $x$ (mit $a \neq 0$ )

\begin{aligned} \text{a)}\; U &= 2a + 2b && \mid -2a \\ U - 2a &= 2b && \mid : 2 \\ b &= \frac{U - 2a}{2} \\[0.6em] \text{b)}\; v &= \frac{s}{t} && \mid \cdot t \\ vt &= s && \mid : v \\ t &= \frac{s}{v} \\[0.6em] \text{c)}\; ax + b &= c && \mid -b \\ ax &= c - b && \mid : a \\ x &= \frac{c - b}{a} \end{aligned}

Du gehst vor wie bei einer Gleichung mit Zahlen. Probe für a) mit Zahlen: Für $U = 26$ und $a = 5$ ergibt sich $b = \frac{26 - 10}{2} = 8$ , und $2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26$ stimmt. In b) multiplizierst du mit $t$ und teilst dann durch $v$ . In c) teilst du durch $a$ . Das darfst du nur, weil $a \neq 0$ gilt.

Definition

Sachaufgaben lösen

Bei einer Sachaufgabe gehst du in diesen Schritten vor:

Lege fest, was die Unbekannte $x$ ist, mit Einheit.
Drücke die anderen Größen mit $x$ aus.
Stelle die Gleichung auf. Sie kommt aus einem Satz des Textes, der „zusammen“, „gleich viel“ oder eine feste Summe nennt.
Löse die Gleichung.
Prüfe am Text, ob die Zahlen passen, und schreibe einen Antwortsatz.

Beispiel

Geld teilen

Drei Geschwister bekommen zusammen 65 Euro. Anna bekommt doppelt so viel wie Ben. Clara bekommt 5 Euro mehr als Ben. Wie viel bekommt jede?

\begin{aligned} x + 2x + (x + 5) &= 65 \\ 4x + 5 &= 65 && \mid -5 \\ 4x &= 60 && \mid : 4 \\ x &= 15 \end{aligned}

Ben bekommt $x$ Euro. Anna bekommt $2x$ Euro, Clara bekommt $x + 5$ Euro. Zusammen sind es 65 Euro. Mit $x = 15$ bekommt Ben 15 Euro, Anna 30 Euro und Clara 20 Euro. Probe am Text: $15 + 30 + 20 = 65$ , Anna hat das Doppelte von Ben, Clara hat 5 Euro mehr als Ben. Antwort: Ben bekommt 15 Euro, Anna 30 Euro und Clara 20 Euro.

Häufige Fehler

Beim Teilen nicht alles teilen

Jemand löst $2x + 6 = 14$ so: Er teilt durch 2 und schreibt $x + 6 = 7$ , also $x = 1$ .

Richtig ist

Beim Teilen musst du jeden Summanden auf beiden Seiten teilen: $x + 3 = 7$ . Einfacher ist es, zuerst 6 abzuziehen: $2x = 8$ , also $x = 4$ . Probe: $2 \cdot 4 + 6 = 14$ . Mit $x = 1$ käme $2 + 6 = 8$ heraus, das ist falsch.

Häufige Fehler

Das Minus vor der Klammer

Jemand löst $5 - 2(x - 1) = 9$ und rechnet $5 - 2x - 2 = 9$ .

Richtig ist

Das Minus gehört zur 2 und wird mit beiden Gliedern der Klammer multipliziert: $-2 \cdot (x - 1) = -2x + 2$ . Richtig ist $5 - 2x + 2 = 9$ , also $7 - 2x = 9$ , $-2x = 2$ und $x = -1$ . Probe: $5 - 2 \cdot (-1 - 1) = 5 + 4 = 9$ .

Häufige Fehler

Durch einen Parameter teilen

Jemand löst $ax = 6$ mit $x = \frac{6}{a}$ und sagt, das gelte für jedes $a$ .

Richtig ist

Für $a = 0$ lautet die Gleichung $0 \cdot x = 6$ . Links steht immer 0, die Gleichung hat also keine Lösung. Du darfst $x = \frac{6}{a}$ nur mit der Bedingung $a \neq 0$ angeben.

Zusammenfassung

Eine lineare Gleichung hat die Unbekannte nur in der ersten Potenz. Ihre Lösungsmenge $L$ enthält alle Zahlen, die sie wahr machen.
Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge nicht: auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen, die nicht 0 ist.
Vorgehen: Klammern auflösen, zusammenfassen, Terme mit $x$ nach links und Zahlen nach rechts bringen, durch den Faktor vor $x$ teilen. Die Probe zeigt Fehler.
Sonderfälle: Bleibt eine falsche Aussage wie $3 = 5$ , ist $L = \{\}$ . Bleibt eine wahre Aussage wie $2 = 2$ , ist jede Zahl eine Lösung.
Beim Umstellen einer Formel behandelst du die anderen Buchstaben wie Zahlen. Teilst du durch einen Parameter, muss er ungleich 0 sein.
Bei Sachaufgaben legst du die Unbekannte fest, stellst die Gleichung auf, löst sie, prüfst am Text und schreibst einen Antwortsatz.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Löse $7x - 5 = 3x + 11$ . Wie lautet $x$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Löse $4(x - 3) = 2x + 6$ . Wie lautet $x$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche dieser Gleichungen hat keine Lösung?

Aufgabe 4Multiple Choice

Das Volumen eines Quaders ist $V = a \cdot b \cdot c$ . Welche Formel gilt für $c$ (mit $a \neq 0$ und $b \neq 0$ )?

Aufgabe 5Numerisch

Anna ist 4 Jahre älter als Ben. In 6 Jahren sind beide zusammen 40 Jahre alt. Wie alt ist Ben jetzt (in Jahren)?

Aufgabe 6Freitext

Löse $ax - 4 = 2$ nach $x$ auf. Welchen Wert darf $a$ nicht haben? Warum?