Lektion 2.6

Bruchterme und Bruchgleichungen

16 min Lesezeit

Ein Radfahrer fährt 12 Kilometer. Mit der Geschwindigkeit $v$ (in Kilometern pro Stunde) braucht er $\frac{12}{v}$ Stunden. Bei $v = 6$ sind das 2 Stunden, bei $v = 12$ eine Stunde. Hier steht die Variable im Nenner.

Daraus ergeben sich Fragen. Welche Zahlen darfst du für $v$ einsetzen? Bei $v = 0$ stünde im Nenner eine 0, und durch 0 kann man nicht teilen. Wie vereinfachst du solche Brüche? Und wie findest du $v$ , wenn der Radfahrer 4 Stunden braucht? Das ist eine Gleichung mit der Unbekannten im Nenner. In dieser Lektion klärst du das und lernst dazu die Potenzgesetze, die du für das Rechnen mit Brüchen und Termen brauchst.

Definition

Bruchterm und Definitionsmenge

Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem im Nenner eine Variable vorkommt, zum Beispiel $\frac{12}{v}$ oder $\frac{x + 2}{x - 3}$ . Die Rechenregeln für Brüche gelten weiter. Eine Regel ist besonders wichtig: Der Nenner darf nicht 0 sein.

Die Zahlen, die du für die Variable einsetzen darfst, bilden den Variablengrundbereich. Man nennt ihn auch Definitionsmenge $D$ . Du suchst unter den rationalen Zahlen und streichst alle Zahlen, bei denen ein Nenner 0 wird. Dazu setzt du jeden Nenner gleich 0 und löst. Bei $\frac{x + 2}{x - 3}$ gilt $x - 3 = 0$ für $x = 3$ . Also ist $D = \mathbb{Q} \setminus \{3\}$ . Das Zeichen $\setminus$ liest du als „ohne“.

Beispiel

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme die Definitionsmenge.

a) $\frac{5}{x}$
b) $\frac{3}{2x - 8}$
c) $\frac{1}{(x - 1)(x + 2)}$

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \\ \text{b)}\; & 2x - 8 = 0 \text{ gilt für } x = 4, \quad D = \mathbb{Q} \setminus \{4\} \\ \text{c)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 1\} \end{aligned}

Du setzt den Nenner gleich 0. In b) ergibt $2x - 8 = 0$ die Lösung $x = 4$ . In c) ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Das gibt $x = 1$ und $x = -2$ . Beide Zahlen fallen weg.

Definition

Erweitern und Kürzen

Brüche erweitern und kürzen kennst du: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen oder durch dieselbe Zahl teilen. Bei Bruchtermen machst du das mit einem Term, der nicht 0 sein darf. Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Term, zum Beispiel $\frac{2}{x} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1)}$ für $x \neq -1$ . Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor. Dafür faktorisierst du erst: Du klammerst aus oder nutzt eine binomische Formel. Kürzen darfst du nur Faktoren, nie einzelne Summanden.

Beispiel

Kürzen

Kürze und gib an, welche Zahlen nicht eingesetzt werden dürfen.

a) $\frac{6x + 12}{9x + 18}$
b) $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$
c) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}$

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{6(x + 2)}{9(x + 2)} = \frac{2}{3} \qquad x \neq -2 \\ \text{b)}\; & \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 \qquad x \neq -3 \\ \text{c)}\; & \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 2} \qquad x \neq -2, \; x \neq 2 \end{aligned}

Zuerst faktorisierst du, dann kürzt du den gemeinsamen Faktor. In a) klammerst du aus. In b) benutzt du die dritte binomische Formel, in c) die erste und die dritte. Die Einschränkung kommt vom ursprünglichen Nenner: In b) darf $x$ nicht $-3$ sein, obwohl $x - 3$ allein für $-3$ definiert wäre. Probe für b) mit $x = 5$ : Links $\frac{16}{8} = 2$ , rechts $5 - 3 = 2$ .

Definition

Bruchgleichung

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Nenner steht. So löst du sie:

Bestimme die Definitionsmenge $D$ .
Multipliziere beide Seiten mit den Nennern, bis keine Brüche mehr da sind. Das ist erlaubt, weil jeder Nenner für Zahlen aus $D$ nicht 0 ist.
Löse die entstandene lineare Gleichung.
Prüfe, ob die Lösung zu $D$ gehört. Wenn nicht, streichst du sie. Mache die Probe.

Beispiel

Bruchgleichungen lösen

Löse a) $\frac{12}{x} = 3$ und b) $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \\ & 12 = 3x \quad \mid : 3 \\ & x = 4 \\[0.6em] \text{b)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 1\} \\ & 2(x + 2) = 3(x - 1) \\ & 2x + 4 = 3x - 3 \quad \mid -2x \\ & 4 = x - 3 \quad \mid +3 \\ & 7 = x \end{aligned}

In a) multiplizierst du beide Seiten mit $x$ und bekommst $12 = 3x$ . Die 4 gehört zu $D$ . Probe: $\frac{12}{4} = 3$ . In b) multiplizierst du beide Seiten mit $(x - 1)(x + 2)$ . Links kürzt sich $x - 1$ , rechts $x + 2$ . Es bleibt eine Gleichung ohne Brüche. Die 7 gehört zu $D$ . Probe: Links $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , rechts $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Beispiel

Eine Lösung liegt nicht in der Definitionsmenge

Löse $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ .

\begin{aligned} D &= \mathbb{Q} \setminus \{2\} \\ x &= 2 \quad \text{(nach Multiplikation mit } x - 2) \\ 2 &\notin D, \quad L = \{\} \end{aligned}

Das Multiplizieren mit $x - 2$ führt zu $x = 2$ . Aber bei $x = 2$ steht in der Aufgabe ein Nenner 0. Die Zahl gehört nicht zu $D$ und ist keine Lösung. Das Zeichen $\notin$ in der letzten Zeile heißt „gehört nicht zu“. Die Gleichung hat keine Lösung. Deshalb bestimmst du zuerst $D$ und vergleichst am Ende.

Bruchgleichungen im Rechenweg

1Definitionsmenge
Die Unbekannte steht im Nenner (Bruchgleichung). Zuerst die Definitionsmenge: Kein Nenner darf 0 werden, sonst stünde dort eine Division durch 0.
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -2; 1 \right\}$
2Hauptnenner
Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren. Das ist erlaubt, weil er für alle Zahlen aus der Definitionsmenge ungleich 0 ist. Dann verschwinden alle Brüche, und nach dem Zusammenfassen bleibt:
$\displaystyle 7 - x = 0$
Lineare Gleichung
Die Unbekannte $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor, es ist eine lineare Gleichung. Ziel ist, $x$ allein auf eine Seite zu bringen. Dafür darf man auf beiden Seiten dasselbe rechnen (Äquivalenzumformung): Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Die Umformung steht jeweils rechts neben dem Strich.
$\displaystyle 7 - x = 0$
Äquivalenzumformung
Die Zahl $7$ nach rechts bringen: auf beiden Seiten $7$ abziehen.
$\displaystyle \begin{aligned} 7 - x &= 0 && \mid\; - 7 \\ -x &= -7 \end{aligned}$
Äquivalenzumformung
Durch den Faktor vor $x$ teilen, also durch $-1$ .
$\displaystyle \begin{aligned} -x &= -7 && \mid\; : \left(-1\right) \\ x &= 7 \end{aligned}$
3Probe
Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung bestätigt jede Lösung.
$\displaystyle \begin{aligned} x = 7: \quad & \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \quad \checkmark \end{aligned}$
4Lösungsmenge
Damit ist die Lösungsmenge:
$\displaystyle L = \left\{ 7 \right\}$

Ergebnis $\displaystyle L = \left\{ 7 \right\}$

Drücke auf „Rechnen“. Das Werkzeug nennt zuerst die Definitionsmenge und multipliziert dann mit den Nennern. Die Zahlenmenge schreibt es mit einem anderen Zeichen als wir, das ändert hier nichts. Probiere danach x/(x - 2) = 2/(x - 2) aus. Das Werkzeug kommt auf einem anderen Weg zum Ergebnis des letzten Beispiels.

Definition

Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten

Potenzen wie $x^3 = x \cdot x \cdot x$ kennst du. Für Bruchterme brauchst du auch Exponenten, die 0 oder negativ sind. Bei den Potenzen von 2 gilt $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ und $2^1 = 2$ . Jeder Schritt nach unten halbiert das Ergebnis. Setzt du das fort, kommt $2^0 = 1$ , dann $2^{-1} = \frac{1}{2}$ und $2^{-2} = \frac{1}{4}$ . So erklärt man für $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert, nicht eine negative Zahl.

Mit ganzen Exponenten $m$ und $n$ und $a, b \neq 0$ gelten diese Gesetze. Das erste siehst du, wenn du die Faktoren ausschreibst: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$ .

Gesetz	Beispiel
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^5 \cdot x^2 = x^7$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$x^5 : x^2 = x^3$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(x^2)^3 = x^6$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$

Beispiel

Mit Potenzen rechnen

Vereinfache und schreibe ohne negative Exponenten.

a) $x^5 \cdot x^{-2}$
b) $\frac{x^3}{x^7}$
c) $(2x^{-1})^3$

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^{5 + (-2)} = x^3 \\ \text{b)}\; & x^{3 - 7} = x^{-4} = \frac{1}{x^4} \\ \text{c)}\; & 2^3 \cdot (x^{-1})^3 = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3} \end{aligned}

In a) addierst du die Exponenten. In b) subtrahierst du: $3 - 7 = -4$ . Dann schreibst du den negativen Exponenten als Bruch. In c) wendest du zuerst das Gesetz für Produkte an und multiplizierst dann die Exponenten: $(x^{-1})^3 = x^{-3}$ . Probe für b) mit $x = 2$ : $\frac{8}{128} = \frac{1}{16}$ und $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ . Alle Terme gelten für $x \neq 0$ .

Häufige Fehler

Summanden kürzen

Jemand kürzt $\frac{x + 6}{6}$ zu $x + 1$ .

Richtig ist

Du darfst nur Faktoren kürzen, keine einzelnen Summanden. In $x + 6$ ist die 6 ein Summand. Probe mit $x = 6$ : Links $\frac{12}{6} = 2$ , rechts $6 + 1 = 7$ . Der Term lässt sich nicht kürzen. Wohl aber gilt $\frac{6x + 6}{6} = \frac{6(x + 1)}{6} = x + 1$ .

Häufige Fehler

Negativer Exponent, negative Zahl

Jemand rechnet $2^{-3} = -8$ .

Richtig ist

Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ, sondern bildet den Kehrwert: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ .

Häufige Fehler

Wozu gehört der Exponent?

Jemand schreibt $2x^{-1} = \frac{1}{2x}$ .

Richtig ist

Der Exponent $-1$ gehört nur zu $x$ . Es ist $2x^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ . Erst mit Klammern gilt $(2x)^{-1} = \frac{1}{2x}$ .

Zusammenfassung

Ein Bruchterm hat eine Variable im Nenner. Die Definitionsmenge $D$ enthält alle Zahlen, für die kein Nenner 0 wird.
Du bestimmst $D$ , indem du jeden Nenner gleich 0 setzt und löst. Diese Zahlen fehlen in $D$ .
Erweitern und Kürzen geht mit Termen, die nicht 0 sind. Zum Kürzen faktorisierst du zuerst. Gekürzt werden nur Faktoren, nie Summanden.
Eine Bruchgleichung löst du so: $D$ bestimmen, mit den Nennern multiplizieren, die lineare Gleichung lösen, Lösung gegen $D$ prüfen und die Probe machen.
Eine Lösung, die nicht zu $D$ gehört, ist keine Lösung. Manchmal bleibt dann $L = \{\}$ .
Für ganze Exponenten gilt $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (mit $a \neq 0$ ). Beim Multiplizieren addierst du Exponenten, beim Dividieren subtrahierst du sie, beim Potenzieren multiplizierst du sie.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Für welche Zahl darf $x$ im Term $\frac{4}{3x - 6}$ nicht eingesetzt werden?

Aufgabe 2Multiple Choice

Auf welchen Term lässt sich $\frac{x^2 - 16}{x + 4}$ kürzen (für $x \neq -4$ )?

Aufgabe 3Numerisch

Löse $\frac{10}{x - 3} = 2$ . Wie lautet $x$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welchen Wert hat $2^{-3}$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Vereinfache $x^4 \cdot x^{-7} : x^{-2}$ zu $x^k$ (mit $x \neq 0$ ). Wie groß ist $k$ ?

Aufgabe 6Freitext

Löse $\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$ . Erkläre, warum die Gleichung keine Lösung hat.

Lektion 2.6 · Terme, Gleichungen und Ungleichungen

Bruchterme und Bruchgleichungen

Definition

Bruchterm und Definitionsmenge

Beispiel

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme die Definitionsmenge.

a) $\frac{5}{x}$
b) $\frac{3}{2x - 8}$
c) $\frac{1}{(x - 1)(x + 2)}$

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \\ \text{b)}\; & 2x - 8 = 0 \text{ gilt für } x = 4, \quad D = \mathbb{Q} \setminus \{4\} \\ \text{c)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 1\} \end{aligned}

Definition

Erweitern und Kürzen

Beispiel

Kürzen

Kürze und gib an, welche Zahlen nicht eingesetzt werden dürfen.

a) $\frac{6x + 12}{9x + 18}$
b) $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$
c) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}$

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{6(x + 2)}{9(x + 2)} = \frac{2}{3} \qquad x \neq -2 \\ \text{b)}\; & \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 \qquad x \neq -3 \\ \text{c)}\; & \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 2} \qquad x \neq -2, \; x \neq 2 \end{aligned}

Definition

Bruchgleichung

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Nenner steht. So löst du sie:

Bestimme die Definitionsmenge $D$ .
Multipliziere beide Seiten mit den Nennern, bis keine Brüche mehr da sind. Das ist erlaubt, weil jeder Nenner für Zahlen aus $D$ nicht 0 ist.
Löse die entstandene lineare Gleichung.
Prüfe, ob die Lösung zu $D$ gehört. Wenn nicht, streichst du sie. Mache die Probe.

Beispiel

Bruchgleichungen lösen

Löse a) $\frac{12}{x} = 3$ und b) $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \\ & 12 = 3x \quad \mid : 3 \\ & x = 4 \\[0.6em] \text{b)}\; & D = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 1\} \\ & 2(x + 2) = 3(x - 1) \\ & 2x + 4 = 3x - 3 \quad \mid -2x \\ & 4 = x - 3 \quad \mid +3 \\ & 7 = x \end{aligned}

Beispiel

Eine Lösung liegt nicht in der Definitionsmenge

Löse $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ .

\begin{aligned} D &= \mathbb{Q} \setminus \{2\} \\ x &= 2 \quad \text{(nach Multiplikation mit } x - 2) \\ 2 &\notin D, \quad L = \{\} \end{aligned}

Definition

Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten

Gesetz	Beispiel
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^5 \cdot x^2 = x^7$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$x^5 : x^2 = x^3$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(x^2)^3 = x^6$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$

Beispiel

Mit Potenzen rechnen

Vereinfache und schreibe ohne negative Exponenten.

a) $x^5 \cdot x^{-2}$
b) $\frac{x^3}{x^7}$
c) $(2x^{-1})^3$

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^{5 + (-2)} = x^3 \\ \text{b)}\; & x^{3 - 7} = x^{-4} = \frac{1}{x^4} \\ \text{c)}\; & 2^3 \cdot (x^{-1})^3 = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3} \end{aligned}

Häufige Fehler

Summanden kürzen

Jemand kürzt $\frac{x + 6}{6}$ zu $x + 1$ .

Häufige Fehler

Negativer Exponent, negative Zahl

Jemand rechnet $2^{-3} = -8$ .

Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ, sondern bildet den Kehrwert: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ .

Häufige Fehler

Wozu gehört der Exponent?

Jemand schreibt $2x^{-1} = \frac{1}{2x}$ .

Der Exponent $-1$ gehört nur zu $x$ . Es ist $2x^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ . Erst mit Klammern gilt $(2x)^{-1} = \frac{1}{2x}$ .

Zusammenfassung

Ein Bruchterm hat eine Variable im Nenner. Die Definitionsmenge $D$ enthält alle Zahlen, für die kein Nenner 0 wird.
Du bestimmst $D$ , indem du jeden Nenner gleich 0 setzt und löst. Diese Zahlen fehlen in $D$ .
Erweitern und Kürzen geht mit Termen, die nicht 0 sind. Zum Kürzen faktorisierst du zuerst. Gekürzt werden nur Faktoren, nie Summanden.
Eine Bruchgleichung löst du so: $D$ bestimmen, mit den Nennern multiplizieren, die lineare Gleichung lösen, Lösung gegen $D$ prüfen und die Probe machen.
Eine Lösung, die nicht zu $D$ gehört, ist keine Lösung. Manchmal bleibt dann $L = \{\}$ .
Für ganze Exponenten gilt $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (mit $a \neq 0$ ). Beim Multiplizieren addierst du Exponenten, beim Dividieren subtrahierst du sie, beim Potenzieren multiplizierst du sie.