Lektion 6.1

Sinus- und Kosinusfunktion, periodische Vorgänge

16 min Lesezeit

Ein Riesenrad hat einen Radius von 10 m. Seine Achse liegt 12 m über dem Boden. Eine Umdrehung dauert, angenommen, 120 Sekunden. Eine Gondel startet in Höhe der Achse und fährt nach oben. Wie hoch ist sie nach 10 Sekunden, wie hoch nach 30 Sekunden? Und wie beschreibst du ihre Höhe zu jedem Zeitpunkt mit einer Formel?

Die Höhe steigt, fällt und steigt wieder, immer im gleichen Rhythmus. Solche Vorgänge heißen periodisch. Auch ein Pendel, eine Schallwelle, Ebbe und Flut oder der Wechselstrom aus der Steckdose verhalten sich so.

Sinus und Kosinus kennst du bisher nur aus dem rechtwinkligen Dreieck, also für Winkel unter 90°. Die Gondel fährt aber weiter. In dieser Lektion erweiterst du Sinus und Kosinus auf beliebige Winkel und machst Funktionen daraus.

Definition

Einheitskreis, Sinus und Kosinus

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung $(0 \mid 0)$ mit dem Radius 1. Ein Punkt $P$ startet bei $(1 \mid 0)$ und läuft gegen den Uhrzeigersinn über den Kreis. Der Winkel $x$ liegt zwischen der positiven $x$ -Achse und der Strecke vom Ursprung zu $P$ . Du gibst ihn im Bogenmaß an: Das ist die Länge des Kreisbogens, den $P$ zurückgelegt hat. Dabei entsprechen $180^\circ$ der Zahl $\pi$ und $360^\circ$ der Zahl $2\pi$ . Läuft $P$ im Uhrzeigersinn, ist der Winkel negativ.

Der Kosinus von $x$ ist die $x$ -Koordinate von $P$ . Der Sinus von $x$ ist die $y$ -Koordinate von $P$ . Für einen spitzen Winkel ist das dasselbe wie im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 1. Neu ist, dass es nun für jeden Winkel gilt, auch für $150^\circ$ , $270^\circ$ oder $400^\circ$ .

$x$ (Bogenmaß)	Grad	$\sin x$	$\cos x$
$0$	$0^\circ$	$0$	$1$
$\frac{\pi}{6}$	$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^\circ$	$1$	$0$
$\pi$	$180^\circ$	$0$	$-1$
$\frac{3\pi}{2}$	$270^\circ$	$-1$	$0$
$2\pi$	$360^\circ$	$0$	$1$

P(x) = \left(\cos x \mid \sin x\right)

Beispiel

Ein Winkel über 90°

Bestimme $\sin 150^\circ$ und $\cos 150^\circ$ am Einheitskreis und gib $150^\circ$ im Bogenmaß an.

\begin{aligned} x &= \frac{150^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5\pi}{6} \\ P(30^\circ) &= \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad P(150^\circ) = \left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right) \\ \sin 150^\circ &= \tfrac{1}{2} \qquad \cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Der Winkel $150^\circ$ liegt zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ . Es fehlen $30^\circ$ bis zur negativen $x$ -Achse. Der Punkt $P(150^\circ)$ ist deshalb das Spiegelbild von $P(30^\circ)$ an der $y$ -Achse. Er liegt gleich hoch, also bleibt der Sinus $\frac{1}{2}$ . Seine $x$ -Koordinate wechselt das Vorzeichen, also ist der Kosinus negativ. Im rechtwinkligen Dreieck gäbe es diesen Winkel nicht.

Definition

Graphen von Sinus und Kosinus, Periode

Trägst du $x$ waagerecht und $\sin x$ senkrecht ab, entsteht die Sinuskurve. Sie beginnt bei $(0 \mid 0)$ und steigt zum Hochpunkt $(\frac{\pi}{2} \mid 1)$ , dem obersten Punkt der Welle. Dann fällt sie über die Nullstelle bei $\pi$ zum Tiefpunkt $(\frac{3\pi}{2} \mid -1)$ , dem untersten Punkt, und kehrt bei $2\pi$ zu $0$ zurück. Danach wiederholt sie sich, nach rechts und nach links ohne Ende. Alle Funktionswerte liegen im Intervall $[-1;\, 1]$ .

Eine Funktion, deren Verlauf sich nach einer festen Länge wiederholt, heißt periodisch. Die kleinste solche Länge ist die Periode $p$ . Für Sinus und Kosinus ist $p = 2\pi$ . Die Kosinuskurve hat dieselbe Form, ist aber um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschoben: Sie startet im Hochpunkt $(0 \mid 1)$ , denn $\cos 0 = 1$ .

\sin(x + 2\pi) = \sin x \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Definition

Sinusfunktion mit Parametern

Wie bei der quadratischen Funktion in Scheitelform verändern vier Parameter den Graphen der Grundfunktion. Die allgemeine Form ist $f(x) = a \cdot \sin(b\,(x - c)) + d$ mit $b > 0$ . Für den Kosinus gilt dasselbe.

$d$ verschiebt den Graphen nach oben (bei negativem $d$ nach unten). Die Gerade $y = d$ ist die Mittellinie, um die die Welle schwingt.
$a$ streckt den Graphen in $y$ -Richtung. Der Betrag $|a|$ heißt Amplitude: der Abstand des Hochpunkts von der Mittellinie. Der Höchstwert ist $d + |a|$ , der Tiefstwert $d - |a|$ . Ist $a$ negativ, wird die Welle an der Mittellinie gespiegelt.
$b$ staucht oder streckt den Graphen in $x$ -Richtung. Die Periode ist $p = \frac{2\pi}{b}$ , denn $b\,(x - c)$ muss auf der Länge $p$ genau um $2\pi$ wachsen.
$c$ verschiebt den Graphen um $c$ nach rechts (bei negativem $c$ nach links).

f(x) = a \cdot \sin\bigl(b\,(x - c)\bigr) + d \qquad p = \frac{2\pi}{b}

Beispiel

Parameter ablesen

Beschreibe den Graphen von $f(x) = 3 \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ .

\begin{aligned} \text{Mittellinie:}\quad & y = 1 \\ \text{Amplitude:}\quad & 3, \text{ also Höchstwert } 1 + 3 = 4 \text{ und Tiefstwert } 1 - 3 = -2 \\ \text{Periode:}\quad & p = \frac{2\pi}{2} = \pi \\ \text{Verschiebung:}\quad & \frac{\pi}{4} \text{ nach rechts} \\ \text{Hochpunkt:}\quad & x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \end{aligned}

Die Welle beginnt bei $(\frac{\pi}{4} \mid 1)$ auf der Mittellinie und steigt. Ihr Hochpunkt kommt nach einer Viertelperiode, also $\frac{\pi}{4}$ weiter rechts, bei $x = \frac{\pi}{2}$ . Die Probe bestätigt es: $f(\frac{\pi}{2}) = 3 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ .

Der Graph aus dem Beispiel

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus über den Graphen: Unter dem Bild stehen x und der Funktionswert. Suche den Höchstwert 4 und den Tiefstwert -2. Wie oft wiederholt sich die Welle zwischen x = -6 und x = 6? Das passt zur Periode π. Mit + und − änderst du den Ausschnitt.

Beispiel

Das Riesenrad

Die Gondel startet in Höhe der Achse (12 m), der Radius ist 10 m, eine Umdrehung dauert 120 s. Stelle die Höhe $h(t)$ in Metern nach $t$ Sekunden auf und berechne sie für $t = 10$ und $t = 30$ . Wie tief kommt die Gondel?

\begin{aligned} d &= 12, \quad a = 10, \quad b = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60}, \quad c = 0 \\ h(t) &= 12 + 10 \sin\left(\frac{\pi}{60}\, t\right) \\ h(10) &= 12 + 10 \sin\frac{\pi}{6} = 12 + 10 \cdot \frac{1}{2} = 17 \\ h(30) &= 12 + 10 \sin\frac{\pi}{2} = 12 + 10 = 22 \\ \text{Tiefstwert:}\quad & 12 - 10 = 2 \end{aligned}

Die Achse ist die Mittellinie, der Radius die Amplitude. Aus der Umlaufzeit folgt die Periode $p = 120$ und damit $b = \frac{2\pi}{120}$ . Die Gondel startet auf der Mittellinie und steigt, wie die Sinuskurve bei $0$ . Deshalb ist $c = 0$ . Nach 10 s ist sie 17 m hoch, nach 30 s am höchsten Punkt, 22 m hoch. Am tiefsten Punkt, nach 90 s, ist sie 2 m über dem Boden.

Beispiel

Gleichung aus Eigenschaften aufstellen

Eine Schwingung hat den Höchstwert 5, den Tiefstwert $-1$ und die Periode 4. Bei $x = 0$ liegt sie auf der Mittellinie und steigt. Gib eine Gleichung der Form $f(x) = a \sin(bx) + d$ an.

\begin{aligned} d &= \frac{5 + (-1)}{2} = 2 \qquad a = \frac{5 - (-1)}{2} = 3 \qquad b = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \\ f(x) &= 3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\, x\right) + 2 \end{aligned}

Die Mittellinie liegt genau zwischen Höchst- und Tiefstwert. Die Amplitude ist der halbe Abstand der beiden. Aus $p = \frac{2\pi}{b}$ folgt $b = \frac{2\pi}{p}$ . Probe: $f(1) = 3 \sin\frac{\pi}{2} + 2 = 5$ ist der Höchstwert, $f(3) = 3 \sin\frac{3\pi}{2} + 2 = -1$ der Tiefstwert.

Häufige Fehler

Falsche Winkeleinstellung am Taschenrechner

Jemand berechnet $\sin\frac{\pi}{2}$ mit dem Taschenrechner, der auf Gradmaß (DEG) steht, und erhält etwa 0,027.

Richtig ist

Der Rechner liest $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ dann als $1{,}57^\circ$ . Stelle ihn auf Bogenmaß (RAD) um. Dann ist $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ .

Häufige Fehler

b ist nicht die Periode

Jemand sagt: „Die Funktion $f(x) = \sin(3x)$ hat die Periode 3.“

Richtig ist

Die Periode ist $\frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$ . Ein größeres $b$ macht die Welle schneller: Auf der Länge $2\pi$ passen drei Wellen. Die Probe: $\sin(3(x + \frac{2\pi}{3})) = \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x)$ .

Häufige Fehler

Verschiebung ohne Ausklammern ablesen

Jemand liest bei $f(x) = \sin(2x - \pi)$ eine Verschiebung um $\pi$ nach rechts ab.

Richtig ist

Die Form verlangt $b\,(x - c)$ . Klammere zuerst $b$ aus: $2x - \pi = 2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ . Der Graph ist also nur um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben.

Zusammenfassung

Am Einheitskreis (Radius 1) ist $P(x) = (\cos x \mid \sin x)$ . Der Winkel $x$ steht im Bogenmaß, und $180^\circ$ entsprechen $\pi$ . Das gilt für jeden Winkel, auch über $90^\circ$ und negative.
Die Graphen von Sinus und Kosinus sind Wellen mit Werten zwischen $-1$ und $1$ und der Periode $2\pi$ . Der Kosinus ist der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinus.
Bei $f(x) = a \sin(b\,(x - c)) + d$ gilt: Mittellinie $y = d$ , Amplitude $|a|$ , Periode $\frac{2\pi}{b}$ , Verschiebung $c$ nach rechts.
Höchstwert und Tiefstwert sind $d + |a|$ und $d - |a|$ . Aus ihnen berechnest du $d$ als Mittelwert und $|a|$ als halben Abstand.
Periodische Vorgänge wie ein Riesenrad, Gezeiten oder Wechselstrom beschreibst du mit solchen Funktionen. Mit dem Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) berechnest du die Werte.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welchen Wert hat $\cos \pi$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Wie lang ist die Periode von $f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\,x\right) + 1$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Wie groß ist der größte Funktionswert von $g(x) = -2\cos x + 5$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Funktion hat die Amplitude 2, die Periode $\pi$ und die Mittellinie $y = 1$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Die Höhe der Gondel ist $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{60}\,t\right)$ in Metern, $t$ in Sekunden. Wie hoch ist die Gondel nach 20 Sekunden in Metern? Stelle den Taschenrechner auf Bogenmaß und runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe 6Freitext

Der Wasserstand in einem Hafen schwankt zwischen 1 m und 5 m. Angenommen, eine Periode dauert genau 12 Stunden. Um 0 Uhr liegt der Wasserstand in der Mitte und steigt. Stelle eine Funktion $W(t)$ auf ( $t$ in Stunden) und berechne den Wasserstand um 2 Uhr.

Lektion 6.1 · Weitere Funktionstypen und bedingte Wahrscheinlichkeit

Sinus- und Kosinusfunktion, periodische Vorgänge

Definition

Einheitskreis, Sinus und Kosinus

$x$ (Bogenmaß)	Grad	$\sin x$	$\cos x$
$0$	$0^\circ$	$0$	$1$
$\frac{\pi}{6}$	$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^\circ$	$1$	$0$
$\pi$	$180^\circ$	$0$	$-1$
$\frac{3\pi}{2}$	$270^\circ$	$-1$	$0$
$2\pi$	$360^\circ$	$0$	$1$

P(x) = \left(\cos x \mid \sin x\right)

Beispiel

Ein Winkel über 90°

Bestimme $\sin 150^\circ$ und $\cos 150^\circ$ am Einheitskreis und gib $150^\circ$ im Bogenmaß an.

\begin{aligned} x &= \frac{150^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5\pi}{6} \\ P(30^\circ) &= \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad P(150^\circ) = \left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right) \\ \sin 150^\circ &= \tfrac{1}{2} \qquad \cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Definition

Graphen von Sinus und Kosinus, Periode

\sin(x + 2\pi) = \sin x \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Definition

Sinusfunktion mit Parametern

$d$ verschiebt den Graphen nach oben (bei negativem $d$ nach unten). Die Gerade $y = d$ ist die Mittellinie, um die die Welle schwingt.
$a$ streckt den Graphen in $y$ -Richtung. Der Betrag $|a|$ heißt Amplitude: der Abstand des Hochpunkts von der Mittellinie. Der Höchstwert ist $d + |a|$ , der Tiefstwert $d - |a|$ . Ist $a$ negativ, wird die Welle an der Mittellinie gespiegelt.
$b$ staucht oder streckt den Graphen in $x$ -Richtung. Die Periode ist $p = \frac{2\pi}{b}$ , denn $b\,(x - c)$ muss auf der Länge $p$ genau um $2\pi$ wachsen.
$c$ verschiebt den Graphen um $c$ nach rechts (bei negativem $c$ nach links).

f(x) = a \cdot \sin\bigl(b\,(x - c)\bigr) + d \qquad p = \frac{2\pi}{b}

Beispiel

Parameter ablesen

Beschreibe den Graphen von $f(x) = 3 \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ .

\begin{aligned} \text{Mittellinie:}\quad & y = 1 \\ \text{Amplitude:}\quad & 3, \text{ also Höchstwert } 1 + 3 = 4 \text{ und Tiefstwert } 1 - 3 = -2 \\ \text{Periode:}\quad & p = \frac{2\pi}{2} = \pi \\ \text{Verschiebung:}\quad & \frac{\pi}{4} \text{ nach rechts} \\ \text{Hochpunkt:}\quad & x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \end{aligned}

Beispiel

Das Riesenrad

\begin{aligned} d &= 12, \quad a = 10, \quad b = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60}, \quad c = 0 \\ h(t) &= 12 + 10 \sin\left(\frac{\pi}{60}\, t\right) \\ h(10) &= 12 + 10 \sin\frac{\pi}{6} = 12 + 10 \cdot \frac{1}{2} = 17 \\ h(30) &= 12 + 10 \sin\frac{\pi}{2} = 12 + 10 = 22 \\ \text{Tiefstwert:}\quad & 12 - 10 = 2 \end{aligned}

Beispiel

Gleichung aus Eigenschaften aufstellen

Eine Schwingung hat den Höchstwert 5, den Tiefstwert $-1$ und die Periode 4. Bei $x = 0$ liegt sie auf der Mittellinie und steigt. Gib eine Gleichung der Form $f(x) = a \sin(bx) + d$ an.

\begin{aligned} d &= \frac{5 + (-1)}{2} = 2 \qquad a = \frac{5 - (-1)}{2} = 3 \qquad b = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \\ f(x) &= 3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\, x\right) + 2 \end{aligned}

Häufige Fehler

Falsche Winkeleinstellung am Taschenrechner

Jemand berechnet $\sin\frac{\pi}{2}$ mit dem Taschenrechner, der auf Gradmaß (DEG) steht, und erhält etwa 0,027.

Der Rechner liest $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ dann als $1{,}57^\circ$ . Stelle ihn auf Bogenmaß (RAD) um. Dann ist $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ .

Häufige Fehler

b ist nicht die Periode

Jemand sagt: „Die Funktion $f(x) = \sin(3x)$ hat die Periode 3.“

Häufige Fehler

Verschiebung ohne Ausklammern ablesen

Jemand liest bei $f(x) = \sin(2x - \pi)$ eine Verschiebung um $\pi$ nach rechts ab.

Die Form verlangt $b\,(x - c)$ . Klammere zuerst $b$ aus: $2x - \pi = 2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ . Der Graph ist also nur um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben.

Zusammenfassung

Am Einheitskreis (Radius 1) ist $P(x) = (\cos x \mid \sin x)$ . Der Winkel $x$ steht im Bogenmaß, und $180^\circ$ entsprechen $\pi$ . Das gilt für jeden Winkel, auch über $90^\circ$ und negative.
Die Graphen von Sinus und Kosinus sind Wellen mit Werten zwischen $-1$ und $1$ und der Periode $2\pi$ . Der Kosinus ist der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinus.
Bei $f(x) = a \sin(b\,(x - c)) + d$ gilt: Mittellinie $y = d$ , Amplitude $|a|$ , Periode $\frac{2\pi}{b}$ , Verschiebung $c$ nach rechts.
Höchstwert und Tiefstwert sind $d + |a|$ und $d - |a|$ . Aus ihnen berechnest du $d$ als Mittelwert und $|a|$ als halben Abstand.
Periodische Vorgänge wie ein Riesenrad, Gezeiten oder Wechselstrom beschreibst du mit solchen Funktionen. Mit dem Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) berechnest du die Werte.