Lektion 6.3

Biquadratische, Wurzel-, Potenz- und höhere Gleichungen

16 min Lesezeit

Quadratische Gleichungen kannst du lösen. Aber nicht jede Aufgabe ist so einfach gebaut. Drei Fragen:

Für ein Fadenpendel der Länge $l$ (in m) gilt bei kleinen Ausschlägen näherungsweise $T = 2\sqrt{l}$ , mit der Schwingungsdauer $T$ in Sekunden. Wie lang ist ein Pendel, das für eine Schwingung 3 Sekunden braucht?

Wo schneidet der Graph von $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ die $x$ -Achse? Du brauchst die Lösungen von $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . Die Formel für quadratische Gleichungen passt hier nicht direkt.

Ein Würfel hat das Volumen 27 cm³. Wie lang ist seine Kante? Das ist die Gleichung $x^3 = 27$ .

In dieser Lektion lernst du für jede dieser Gleichungsarten ein Verfahren. Für Gleichungen höheren Grades bekommst du mehrere Werkzeuge, die du kombinierst.

Definition

Biquadratische Gleichung und Substitution

Eine biquadratische Gleichung hat die Form $ax^4 + bx^2 + c = 0$ mit $a \ne 0$ . Es kommen nur $x^4$ und $x^2$ vor. Weil $x^4 = (x^2)^2$ ist, ersetzt du $x^2$ durch eine neue Unbekannte $z$ . Das Ersetzen heißt Substitution. Du löst die quadratische Gleichung in $z$ und gehst dann zurück zu $x$ (Rücksubstitution).

Dabei gilt $x^2 = z$ nur dann für ein reelles $x$ , wenn $z \ge 0$ ist. Ist $z > 0$ , gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt{z}$ . Ist $z < 0$ , gibt es keine.

ax^4 + bx^2 + c = 0 \;\xrightarrow{\; z = x^2 \;}\; az^2 + bz + c = 0 \;\xrightarrow{\; x = \pm\sqrt{z} \;}\; x

Beispiel

Biquadratische Gleichungen lösen

Löse a) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ und b) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & z^2 - 5z + 4 = 0 \;\Rightarrow\; z = \frac{5 \pm 3}{2},\; z_1 = 1,\; z_2 = 4 \\ & x^2 = 1 \text{ oder } x^2 = 4 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, -1;\, 1;\, 2\} \\ \text{b)}\; & z^2 - 2z - 8 = 0 \;\Rightarrow\; (z - 4)(z + 2) = 0,\; z_1 = 4,\; z_2 = -2 \\ & x^2 = 4 \text{ oder } x^2 = -2 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, 2\} \end{aligned}

In a) liefern beide $z$ -Werte zwei Lösungen. Probe für $x = 2$ : $16 - 20 + 4 = 0$ . In b) ist $z_2 = -2$ negativ. Die Gleichung $x^2 = -2$ hat keine reelle Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Es bleiben die Lösungen aus $z_1 = 4$ . Probe für $x = 2$ : $16 - 8 - 8 = 0$ .

Rechenweg einer biquadratischen Gleichung

1Substitution
Im Polynom kommen nur gerade Potenzen vor ( $x^{4}$ und $x^{2}$ ), eine biquadratische Gleichung. Mit der Substitution $z = x^{2}$ wird daraus eine quadratische Gleichung in $z$ , denn $x^{4} = z^{2}$ .
$\displaystyle \begin{aligned} x^{4} - 13x^{2} + 36 &= 0 \\ z^{2} - 13z + 36 &= 0 \end{aligned}$
pq-Formel
pq-Formel: Für $z^{2} + pz + q = 0$ gilt $z_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}$ . Hier ist $p = -13$ und $q = 36$ . (Die abc-Formel, auch Mitternachtsformel, führt zum selben Ergebnis, nur ohne vorher zu teilen.)
$\displaystyle z_{1,2} = -\frac{-13}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-13}{2}\right)^{2} - 36} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$
Lösungen
Unter der Wurzel steht eine positive Zahl (die Diskriminante $D = \frac{25}{4}$ ist größer als 0), also gibt es zwei Lösungen: einmal mit Minus, einmal mit Plus.
$\displaystyle z_1 = \frac{13}{2} - \frac{5}{2} = 4, \qquad z_2 = \frac{13}{2} + \frac{5}{2} = 9$
2Rücksubstitution
Rücksubstitution: $x^{2} = z$ für jede Lösung $z$ , dann die Wurzel ziehen. Negative $z$ liefern keine reelle Lösung.
$\displaystyle \begin{aligned} x^{2} = 4: && x = \pm 2 \\ x^{2} = 9: && x = \pm 3 \end{aligned}$
3Probe
Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung bestätigt jede Lösung.
$\displaystyle \begin{aligned} x = -3: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \\ x = -2: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \\ x = 2: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \\ x = 3: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \end{aligned}$
4Lösungsmenge
Damit ist die Lösungsmenge:
$\displaystyle L = \left\{ -3; \; -2; \; 2; \; 3 \right\}$

Ergebnis $\displaystyle L = \left\{ -3; \; -2; \; 2; \; 3 \right\}$

Klicke auf Rechnen und dann auf Schritt für Schritt. Du siehst die Substitution und die Rücksubstitution. Ändere die Gleichung und probiere zum Beispiel x^4 - 2*x^2 - 8 = 0 aus. Dort ist ein z-Wert negativ.

Definition

Wurzelgleichung

Bei einer Wurzelgleichung steht die Unbekannte unter einer Wurzel. So gehst du vor:

Stelle die Gleichung so um, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht.
Quadriere beide Seiten. Dabei verschwindet die Quadratwurzel. Bei einer Kubikwurzel potenzierst du mit 3.
Löse die entstandene Gleichung.
Mache die Probe in der Ausgangsgleichung.

Die Probe ist nötig, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Aus $a = b$ folgt $a^2 = b^2$ , aber aus $a^2 = b^2$ folgt nur $a = b$ oder $a = -b$ . So können Scheinlösungen entstehen: Zahlen, die die quadrierte Gleichung lösen, aber nicht die ursprüngliche.

Beispiel

Wurzelgleichungen und die Probe

a) Wie lang ist das Pendel mit $2\sqrt{l} = 3$ ? b) Löse $\sqrt{3x - 2} = x - 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{l} = 1{,}5 \;\Rightarrow\; l = 1{,}5^2 = 2{,}25 \\ \text{b)}\; & 3x - 2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \\ & 0 = x^2 - 7x + 6 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 6 \\ & x = 1\text{: } \sqrt{1} = 1,\; \text{aber } 1 - 2 = -1 \quad \text{falsch} \\ & x = 6\text{: } \sqrt{16} = 4,\; 6 - 2 = 4 \quad \text{wahr} \\ & L = \{6\} \end{aligned}

In a) steht die Wurzel schon fast allein: Du teilst durch 2 und quadrierst. Das Pendel ist 2,25 m lang. Probe: $2 \cdot \sqrt{2{,}25} = 2 \cdot 1{,}5 = 3$ . In b) quadrierst du beide Seiten. Beachte die binomische Formel $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ . Die Probe zeigt, dass $x = 1$ eine Scheinlösung ist: Die Wurzel ist nie negativ, die rechte Seite wäre $-1$ .

Definition

Potenzgleichung

Bei einer Potenzgleichung steht die Unbekannte in der Basis einer Potenz mit festem Exponenten: $x^n = c$ . Du löst sie durch Ziehen der $n$ -ten Wurzel.

Ist $n$ ungerade, gibt es genau eine Lösung: $x = \sqrt[n]{c}$ für $c \ge 0$ und $x = -\sqrt[n]{-c}$ für $c < 0$ .
Ist $n$ gerade und $c > 0$ , gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt[n]{c}$ . Für $c = 0$ gibt es die Lösung $0$ , für $c < 0$ keine.

Steht statt $x$ ein Term in der Basis, etwa $(2x + 1)^4 = 16$ , löst du erst nach dem Term auf und dann nach $x$ .

x^n = c

Beispiel

Potenzgleichungen lösen

Löse a) $2x^5 = 64$ , b) $x^3 = -8$ und c) $(2x + 1)^4 = 16$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^5 = 32 \;\Rightarrow\; x = 2 \\ \text{b)}\; & x = -\sqrt[3]{8} = -2 \\ \text{c)}\; & 2x + 1 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{2} \text{ oder } x = -\frac{3}{2} \end{aligned}

In a) teilst du zuerst durch 2. In b) ist der Exponent ungerade, deshalb gibt es auch für eine negative Zahl eine Lösung: $(-2)^3 = -8$ . In c) ist der Exponent gerade, also hat $2x + 1$ zwei mögliche Werte, $2$ und $-2$ . Aus $2x + 1 = 2$ folgt $x = \frac{1}{2}$ , aus $2x + 1 = -2$ folgt $x = -\frac{3}{2}$ . Die Gleichung $x^4 = -16$ dagegen hätte keine Lösung.

Definition

Gleichungen höheren Grades

Für eine Gleichung $f(x) = 0$ mit einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 oder höher gibt es keine einfache Lösungsformel. Du führst sie auf Gleichungen kleineren Grades zurück:

Ausklammern: Fehlt das Absolutglied, klammerst du $x$ aus. Dann ist $x = 0$ eine Lösung, und der Rest hat einen kleineren Grad.
Substitution: Wie bei biquadratischen Gleichungen ersetzt du einen wiederkehrenden Teil durch $z$ .
Raten und Polynomdivision: Ist $x_1$ eine Lösung, lässt sich der Linearfaktor $(x - x_1)$ abspalten. Das geht durch Polynomdivision, die wie das schriftliche Teilen abläuft. Sind alle Koeffizienten ganze Zahlen, ist jede ganzzahlige Lösung ein Teiler des Absolutglieds. Probiere also die Teiler, zum Beispiel $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ .

Wiederhole das, bis höchstens eine quadratische Gleichung übrig bleibt. Am Ende kannst du die Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben: die Linearfaktorzerlegung $f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)$ . Sie gelingt vollständig, wenn alle Lösungen reell sind.

Beispiel

Ausklammern und Polynomdivision

Löse a) $2x^3 - 8x = 0$ und b) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ .

Bei b) ist $x = 1$ eine Lösung, denn $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ . Teile $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$ durch $(x - 1)$ :

Schritt	Höchstes Glied geteilt durch $x$	Mal $(x - 1)$	Rest nach dem Abziehen
1	$x^3 : x = x^2$	$x^3 - x^2$	$-5x^2 + 11x - 6$
2	$-5x^2 : x = -5x$	$-5x^2 + 5x$	$6x - 6$
3	$6x : x = 6$	$6x - 6$	$0$

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2x\,(x^2 - 4) = 2x\,(x - 2)(x + 2) = 0 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, 0;\, 2\} \\ \text{b)}\; & (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6 \\ & x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ oder } 2 \\ & L = \{1;\, 2;\, 3\}, \qquad x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \end{aligned}

In a) klammerst du $2x$ aus und nutzt die dritte binomische Formel. In b) bleibt nach der Division der Rest 0, also ist $(x - 1)$ wirklich ein Faktor. Der Quotient $x^2 - 5x + 6$ hat Grad 2 und lässt sich mit der Lösungsformel lösen. Zur Kontrolle multiplizierst du aus: $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ und $(x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Häufige Fehler

Wurzelgleichung ohne Probe

Jemand löst $\sqrt{3x - 2} = x - 2$ , bekommt $x = 1$ oder $x = 6$ und schreibt $L = \{1;\, 6\}$ .

Richtig ist

Nach dem Quadrieren muss die Probe in der Ausgangsgleichung folgen. Für $x = 1$ steht links $\sqrt{1} = 1$ und rechts $-1$ . Das ist falsch. Richtig ist $L = \{6\}$ .

Häufige Fehler

Rücksubstitution vergessen

Jemand löst $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ mit $z = x^2$ , bekommt $z = 1$ und $z = 4$ und schreibt $L = \{1;\, 4\}$ .

Richtig ist

$z$ ist nicht die gesuchte Unbekannte. Aus $x^2 = 1$ und $x^2 = 4$ folgt $x = \pm 1$ und $x = \pm 2$ . Probe mit $x = 4$ : $4^4 - 5 \cdot 4^2 + 4 = 256 - 80 + 4 = 180 \ne 0$ .

Häufige Fehler

Nullproduktsatz bei einer anderen Zahl als 0

Jemand löst $(x - 1)(x - 2) = 6$ mit „ $x - 1 = 6$ oder $x - 2 = 6$ “ und bekommt $x = 7$ oder $x = 8$ .

Richtig ist

Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist. Hier multiplizierst du aus: $x^2 - 3x + 2 = 6$ , also $x^2 - 3x - 4 = 0$ mit den Lösungen $x = 4$ und $x = -1$ . Probe: $(4 - 1)(4 - 2) = 6$ und $(-1 - 1)(-1 - 2) = 6$ .

Zusammenfassung

Eine biquadratische Gleichung $ax^4 + bx^2 + c = 0$ löst du mit $z = x^2$ . Danach kommt die Rücksubstitution: Aus $x^2 = z$ folgt $x = \pm\sqrt{z}$ für $z \ge 0$ . Negative $z$ geben keine reelle Lösung.
Bei Wurzelgleichungen isolierst du die Wurzel und quadrierst. Danach ist die Probe Pflicht, weil Scheinlösungen entstehen können.
Potenzgleichungen $x^n = c$ löst du mit der $n$ -ten Wurzel. Bei ungeradem $n$ gibt es genau eine Lösung, bei geradem $n$ und $c > 0$ zwei Lösungen $\pm\sqrt[n]{c}$ .
Gleichungen höheren Grades führst du durch Ausklammern, Substitution oder Raten einer Lösung mit anschließender Polynomdivision auf kleinere Grade zurück.
Die Linearfaktorzerlegung $f(x) = a\,(x - x_1) \cdots (x - x_n)$ zeigt alle Lösungen. Den Nullproduktsatz darfst du nur anwenden, wenn auf der anderen Seite 0 steht.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Löse $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ . Wie lautet die größte Lösung?

Aufgabe 2Numerisch

Löse $\sqrt{2x + 1} = 5$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Wie lautet die Lösungsmenge von $\sqrt{x - 1} = x - 3$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Löse $2x^3 = -54$ .

Aufgabe 5Numerisch

Für die Gleichung $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ ist $x = 1$ eine Lösung. Wie lautet die größte Lösung?

Aufgabe 6Freitext

Löse $\sqrt{x + 6} = x$ . Erkläre, warum du am Ende eine Probe machen musst.

Lektion 6.3 · Weitere Funktionstypen und bedingte Wahrscheinlichkeit

Biquadratische, Wurzel-, Potenz- und höhere Gleichungen

Quadratische Gleichungen kannst du lösen. Aber nicht jede Aufgabe ist so einfach gebaut. Drei Fragen:

Wo schneidet der Graph von $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ die $x$ -Achse? Du brauchst die Lösungen von $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . Die Formel für quadratische Gleichungen passt hier nicht direkt.

Ein Würfel hat das Volumen 27 cm³. Wie lang ist seine Kante? Das ist die Gleichung $x^3 = 27$ .

In dieser Lektion lernst du für jede dieser Gleichungsarten ein Verfahren. Für Gleichungen höheren Grades bekommst du mehrere Werkzeuge, die du kombinierst.

Definition

Biquadratische Gleichung und Substitution

Dabei gilt $x^2 = z$ nur dann für ein reelles $x$ , wenn $z \ge 0$ ist. Ist $z > 0$ , gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt{z}$ . Ist $z < 0$ , gibt es keine.

ax^4 + bx^2 + c = 0 \;\xrightarrow{\; z = x^2 \;}\; az^2 + bz + c = 0 \;\xrightarrow{\; x = \pm\sqrt{z} \;}\; x

Beispiel

Biquadratische Gleichungen lösen

Löse a) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ und b) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & z^2 - 5z + 4 = 0 \;\Rightarrow\; z = \frac{5 \pm 3}{2},\; z_1 = 1,\; z_2 = 4 \\ & x^2 = 1 \text{ oder } x^2 = 4 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, -1;\, 1;\, 2\} \\ \text{b)}\; & z^2 - 2z - 8 = 0 \;\Rightarrow\; (z - 4)(z + 2) = 0,\; z_1 = 4,\; z_2 = -2 \\ & x^2 = 4 \text{ oder } x^2 = -2 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, 2\} \end{aligned}

Definition

Wurzelgleichung

Bei einer Wurzelgleichung steht die Unbekannte unter einer Wurzel. So gehst du vor:

Stelle die Gleichung so um, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht.
Quadriere beide Seiten. Dabei verschwindet die Quadratwurzel. Bei einer Kubikwurzel potenzierst du mit 3.
Löse die entstandene Gleichung.
Mache die Probe in der Ausgangsgleichung.

Beispiel

Wurzelgleichungen und die Probe

a) Wie lang ist das Pendel mit $2\sqrt{l} = 3$ ? b) Löse $\sqrt{3x - 2} = x - 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{l} = 1{,}5 \;\Rightarrow\; l = 1{,}5^2 = 2{,}25 \\ \text{b)}\; & 3x - 2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \\ & 0 = x^2 - 7x + 6 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 6 \\ & x = 1\text{: } \sqrt{1} = 1,\; \text{aber } 1 - 2 = -1 \quad \text{falsch} \\ & x = 6\text{: } \sqrt{16} = 4,\; 6 - 2 = 4 \quad \text{wahr} \\ & L = \{6\} \end{aligned}

Definition

Potenzgleichung

Bei einer Potenzgleichung steht die Unbekannte in der Basis einer Potenz mit festem Exponenten: $x^n = c$ . Du löst sie durch Ziehen der $n$ -ten Wurzel.

Ist $n$ ungerade, gibt es genau eine Lösung: $x = \sqrt[n]{c}$ für $c \ge 0$ und $x = -\sqrt[n]{-c}$ für $c < 0$ .
Ist $n$ gerade und $c > 0$ , gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt[n]{c}$ . Für $c = 0$ gibt es die Lösung $0$ , für $c < 0$ keine.

Steht statt $x$ ein Term in der Basis, etwa $(2x + 1)^4 = 16$ , löst du erst nach dem Term auf und dann nach $x$ .

x^n = c

Beispiel

Potenzgleichungen lösen

Löse a) $2x^5 = 64$ , b) $x^3 = -8$ und c) $(2x + 1)^4 = 16$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^5 = 32 \;\Rightarrow\; x = 2 \\ \text{b)}\; & x = -\sqrt[3]{8} = -2 \\ \text{c)}\; & 2x + 1 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{1}{2} \text{ oder } x = -\frac{3}{2} \end{aligned}

Definition

Gleichungen höheren Grades

Für eine Gleichung $f(x) = 0$ mit einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 oder höher gibt es keine einfache Lösungsformel. Du führst sie auf Gleichungen kleineren Grades zurück:

Ausklammern: Fehlt das Absolutglied, klammerst du $x$ aus. Dann ist $x = 0$ eine Lösung, und der Rest hat einen kleineren Grad.
Substitution: Wie bei biquadratischen Gleichungen ersetzt du einen wiederkehrenden Teil durch $z$ .
Raten und Polynomdivision: Ist $x_1$ eine Lösung, lässt sich der Linearfaktor $(x - x_1)$ abspalten. Das geht durch Polynomdivision, die wie das schriftliche Teilen abläuft. Sind alle Koeffizienten ganze Zahlen, ist jede ganzzahlige Lösung ein Teiler des Absolutglieds. Probiere also die Teiler, zum Beispiel $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ .

Beispiel

Ausklammern und Polynomdivision

Löse a) $2x^3 - 8x = 0$ und b) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ .

Bei b) ist $x = 1$ eine Lösung, denn $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ . Teile $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$ durch $(x - 1)$ :

Schritt	Höchstes Glied geteilt durch $x$	Mal $(x - 1)$	Rest nach dem Abziehen
1	$x^3 : x = x^2$	$x^3 - x^2$	$-5x^2 + 11x - 6$
2	$-5x^2 : x = -5x$	$-5x^2 + 5x$	$6x - 6$
3	$6x : x = 6$	$6x - 6$	$0$

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2x\,(x^2 - 4) = 2x\,(x - 2)(x + 2) = 0 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, 0;\, 2\} \\ \text{b)}\; & (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6 \\ & x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ oder } 2 \\ & L = \{1;\, 2;\, 3\}, \qquad x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \end{aligned}

Häufige Fehler

Wurzelgleichung ohne Probe

Jemand löst $\sqrt{3x - 2} = x - 2$ , bekommt $x = 1$ oder $x = 6$ und schreibt $L = \{1;\, 6\}$ .

Nach dem Quadrieren muss die Probe in der Ausgangsgleichung folgen. Für $x = 1$ steht links $\sqrt{1} = 1$ und rechts $-1$ . Das ist falsch. Richtig ist $L = \{6\}$ .

Häufige Fehler

Rücksubstitution vergessen

Jemand löst $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ mit $z = x^2$ , bekommt $z = 1$ und $z = 4$ und schreibt $L = \{1;\, 4\}$ .

$z$ ist nicht die gesuchte Unbekannte. Aus $x^2 = 1$ und $x^2 = 4$ folgt $x = \pm 1$ und $x = \pm 2$ . Probe mit $x = 4$ : $4^4 - 5 \cdot 4^2 + 4 = 256 - 80 + 4 = 180 \ne 0$ .

Häufige Fehler

Nullproduktsatz bei einer anderen Zahl als 0

Jemand löst $(x - 1)(x - 2) = 6$ mit „ $x - 1 = 6$ oder $x - 2 = 6$ “ und bekommt $x = 7$ oder $x = 8$ .

Zusammenfassung

Eine biquadratische Gleichung $ax^4 + bx^2 + c = 0$ löst du mit $z = x^2$ . Danach kommt die Rücksubstitution: Aus $x^2 = z$ folgt $x = \pm\sqrt{z}$ für $z \ge 0$ . Negative $z$ geben keine reelle Lösung.
Bei Wurzelgleichungen isolierst du die Wurzel und quadrierst. Danach ist die Probe Pflicht, weil Scheinlösungen entstehen können.
Potenzgleichungen $x^n = c$ löst du mit der $n$ -ten Wurzel. Bei ungeradem $n$ gibt es genau eine Lösung, bei geradem $n$ und $c > 0$ zwei Lösungen $\pm\sqrt[n]{c}$ .
Gleichungen höheren Grades führst du durch Ausklammern, Substitution oder Raten einer Lösung mit anschließender Polynomdivision auf kleinere Grade zurück.
Die Linearfaktorzerlegung $f(x) = a\,(x - x_1) \cdots (x - x_n)$ zeigt alle Lösungen. Den Nullproduktsatz darfst du nur anwenden, wenn auf der anderen Seite 0 steht.