Eine Funktion heißt ganzrational (oder Polynomfunktion), wenn ihr Term die Form in der Formel unten hat: Vielfache von Potenzen $x^n$ mit ganzzahligem Exponenten $n \ge 0$, die addiert werden. Die Zahlen $a_0, a_1, \dots, a_n$ heißen Koeffizienten. Der höchste Exponent $n$ mit $a_n \ne 0$ heißt Grad, und $a_n$ heißt Leitkoeffizient. Der Koeffizient $a_0$ ist das Absolutglied. Es ist $f(0) = a_0$, also der $y$-Achsenabschnitt.

Beispiele: $2x - 3$ hat den Grad 1, $x^2 - 4x$ den Grad 2 und $-x^4 + 2x^3 - 5$ den Grad 4 mit dem Leitkoeffizienten $-1$. Nicht ganzrational sind $\frac{1}{x}$, $\sqrt{x}$ und $2^x$, denn dort steht $x$ nicht nur als Potenz mit ganzzahligem Exponenten $n \ge 0$.

Für sehr große $|x|$ entscheidet das Glied mit der höchsten Potenz. Bei $f(x) = x^3 - 4x^2$ und $x = 100$ ist $x^3 = 1\,000\,000$, aber $4x^2$ nur $40\,000$. Die übrigen Glieder fallen kaum ins Gewicht.

Du schreibst $x \to +\infty$ („$x$ geht gegen plus unendlich“), wenn $x$ beliebig groß wird, und $x \to -\infty$, wenn $x$ beliebig klein, also stark negativ wird. $f(x) \to +\infty$ heißt: Die Funktionswerte werden beliebig groß. Bei geradem Exponenten ist $x^n$ für positive und negative $x$ positiv. Bei ungeradem Exponenten hat $x^n$ das Vorzeichen von $x$. Daraus folgt:

Eine Nullstelle ist ein $x$ mit $f(x) = 0$. Dort schneidet oder berührt der Graph die $x$-Achse. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt). Deshalb kannst du bei der faktorisierten Form $f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_k)$ die Nullstellen $x_1, \dots, x_k$ sofort ablesen. Die Faktoren $(x - x_i)$ heißen Linearfaktoren. Beispiel: $f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$ hat die Nullstellen $-1$ und $3$.

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. Kommt ein Linearfaktor mehrfach vor, etwa $(x - 2)^2$, ist die Nullstelle mehrfach. Bei einer geraden Anzahl (zum Beispiel doppelt) berührt der Graph die $x$-Achse nur und wechselt nicht das Vorzeichen. Bei einer ungeraden Anzahl schneidet er die Achse. Zum Faktorisieren nutzt du Ausklammern, die binomischen Formeln und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Der Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ gilt: Die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten. Er ist symmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt: Eine Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung bildet ihn auf sich ab.

Bei ganzrationalen Funktionen siehst du das an den Exponenten. Es ist $(-x)^n = x^n$ für gerade $n$ und $(-x)^n = -x^n$ für ungerade $n$. Kommen nur gerade Exponenten vor (das Absolutglied zählt als $x^0$), ist der Graph symmetrisch zur $y$-Achse. Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er symmetrisch zum Ursprung. Kommen beide Arten vor, ist er zu keinem von beiden symmetrisch.

Aus dem Graphen liest du Schritt für Schritt Eigenschaften der Funktion ab:

• Das Verhalten an den Rändern verrät, ob der Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat.
• Jede Nullstelle gibt einen Linearfaktor. Der Grad ist mindestens so groß wie die Zahl der Linearfaktoren. Eine Stelle, an der der Graph die Achse nur berührt, zählt doppelt.
• Ein Graph vom Grad $n$ hat höchstens $n - 1$ Hochpunkte und Tiefpunkte. (Das beweist man mit der Ableitung in der Oberstufe.) Hat er zwei, ist der Grad also mindestens 3.
• Symmetrie zeigt, ob nur gerade oder nur ungerade Exponenten vorkommen.
• Der Faktor $a$ in der faktorisierten Form folgt aus einem weiteren Punkt des Graphen, der nicht auf der $x$-Achse liegt.