Lektion 6.6

Vierfeldertafel, verknüpfte Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeit

16 min Lesezeit

In einer Befragung von 200 Jugendlichen sagen 80, dass sie ein Instrument spielen. 100 sind in einem Sportverein. 60 spielen ein Instrument und sind im Verein. Wie viele machen keines von beidem? Und eine zweite Frage: Du triffst zufällig eine Person aus der Befragung und erfährst, dass sie ein Instrument spielt. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie im Sportverein ist?

Du weißt jetzt etwas über die Person und rechnest deshalb mit einer anderen Wahrscheinlichkeit als vorher. Das nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit. Zwei Hilfsmittel helfen dir dabei: eine Tabelle mit vier Feldern, die du hier kennenlernst, und das Baumdiagramm aus Klasse 7-8.

Definition

Schnitt, Vereinigung und Gegenereignis

Ein Ereignis ist eine Aussage über das Ergebnis eines Zufallsexperiments, zum Beispiel $A$ : „Die ausgewählte Person spielt ein Instrument.“ und $B$ : „Die ausgewählte Person ist im Verein.“ Aus zwei Ereignissen bildest du neue:

Der Schnitt $A \cap B$ bedeutet „ $A$ und $B$ “: Beide Ereignisse treten ein.
Die Vereinigung $A \cup B$ bedeutet „ $A$ oder $B$ “: Mindestens eines der Ereignisse tritt ein, es dürfen auch beide eintreten.
Das Gegenereignis $\overline{A}$ bedeutet „nicht $A$ “. Es gilt $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

A \cap B \;(\text{und}) \qquad A \cup B \;(\text{oder}) \qquad \overline{A} \;(\text{nicht})

Definition

Vierfeldertafel

Hat jede Person oder jeder Gegenstand zwei Merkmale, die jeweils zwei Ausprägungen haben, ordnest du die Daten in eine Tabelle mit vier Feldern ein: Zeilen für $A$ und $\overline{A}$ , Spalten für $B$ und $\overline{B}$ . Dazu kommt je eine Summenzeile und Summenspalte. Jede Zeile und jede Spalte ergibt addiert ihre Summe, und rechts unten steht die Gesamtzahl. Teilst du alle Zahlen durch die Gesamtzahl, erhältst du Wahrscheinlichkeiten. Fehlende Zahlen findest du durch Addieren und Subtrahieren.

Beispiel

Die Vierfeldertafel ausfüllen

Lege für die Befragung die Vierfeldertafel an: 200 Personen, 80 in $A$ , 100 in $B$ , 60 in $A \cap B$ . Gib $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ an.

	$B$ (Verein)	$\overline{B}$ (kein Verein)	Summe
$A$ (Instrument)	60	20	80
$\overline{A}$ (kein Instrument)	40	80	120
Summe	100	100	200

P(A \cap B) = \frac{60}{200} = 0{,}3 \qquad P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{80}{200} = 0{,}4

Gegeben sind 80, 100, 60 und 200. Daraus folgt für $A \cap \overline{B}$ : $80 - 60 = 20$ und für $\overline{A} \cap B$ : $100 - 60 = 40$ . Ohne Instrument sind $200 - 80 = 120$ Personen, davon 40 im Verein, also $120 - 40 = 80$ in keinem von beiden. Zur Probe: Die Spalte $\overline{B}$ hat $20 + 80 = 100 = 200 - 100$ . Die Antwort auf die erste Frage lautet also 80 Personen.

Definition

Additionssatz

Für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt der Additionssatz. Addierst du $P(A)$ und $P(B)$ , zählst du die Ergebnisse in $A \cap B$ doppelt. Deshalb wird $P(A \cap B)$ einmal abgezogen. Können $A$ und $B$ nicht gleichzeitig eintreten (unvereinbar), ist $P(A \cap B) = 0$ , und du addierst einfach.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Beispiel

Wahrscheinlichkeit für „oder“

Wie wahrscheinlich spielt eine zufällig gewählte Person ein Instrument oder ist im Verein?

\begin{aligned} P(A \cup B) &= 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}6 \\ \text{Kontrolle:}\quad & \frac{60 + 20 + 40}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6 \end{aligned}

Es ist $P(A) = \frac{80}{200} = 0{,}4$ und $P(B) = \frac{100}{200} = 0{,}5$ . Bei der Kontrolle zählst du die drei Felder der Tafel, die zu $A$ oder $B$ gehören. Das Gegenereignis $\overline{A} \cap \overline{B}$ hat die Wahrscheinlichkeit $0{,}4$ , und $1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .

Definition

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Du erfährst, dass die Person ein Instrument spielt. Dann zählen nur noch die 80 Personen in der Zeile $A$ . Davon sind 60 im Verein. Die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$ ist $\frac{60}{80} = 0{,}75$ . Du schreibst $P_A(B)$ , in anderen Büchern auch $P(B \mid A)$ . Teilst du Zähler und Nenner durch 200, entsteht die Formel unten. Sie gilt, wenn $P(A) > 0$ ist. Stellst du sie um, erhältst du die Multiplikationsregel, die du von den Pfadregeln im Baumdiagramm kennst.

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)

Beispiel

Bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen

Berechne aus der Vierfeldertafel $P_A(B)$ , $P_B(A)$ und $P_{\overline{A}}(B)$ .

\begin{aligned} P_A(B) &= \frac{60}{80} = 0{,}75 \\ P_B(A) &= \frac{60}{100} = 0{,}6 \\ P_{\overline{A}}(B) &= \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \end{aligned}

Die Bedingung steht als Index unten und sagt, welche Zeile oder Spalte der Nenner ist. Bei $P_A(B)$ ist es die Zeile $A$ mit 80 Personen, bei $P_B(A)$ die Spalte $B$ mit 100. Wer ein Instrument spielt, ist mit 0,75 im Verein, wer keines spielt, nur mit $\frac{1}{3}$ .

Definition

Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Das zweistufige Baumdiagramm hat auf der ersten Stufe die Äste $A$ und $\overline{A}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(\overline{A})$ . Auf der zweiten Stufe stehen $B$ und $\overline{B}$ , und an diesen Ästen stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ , $P_A(\overline{B})$ , $P_{\overline{A}}(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ . Es gelten die Pfadregeln: Entlang eines Pfades multiplizierst du, mehrere Pfade zum selben Ereignis addierst du. Hier steht der Baum als Tabelle der Pfade.

Beispiel

Aus der Tafel in den Baum

Stelle die Befragung als Baumdiagramm dar: erste Stufe $A$ oder $\overline{A}$ , zweite Stufe $B$ oder $\overline{B}$ .

Pfad	Rechnung	Wahrscheinlichkeit
$A \to B$	$0{,}4 \cdot 0{,}75$	$0{,}3$
$A \to \overline{B}$	$0{,}4 \cdot 0{,}25$	$0{,}1$
$\overline{A} \to B$	$0{,}6 \cdot \frac{1}{3}$	$0{,}2$
$\overline{A} \to \overline{B}$	$0{,}6 \cdot \frac{2}{3}$	$0{,}4$

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5

Die erste Stufe ist $P(A) = 0{,}4$ und $P(\overline{A}) = 0{,}6$ . Die zweite Stufe sind bedingte Wahrscheinlichkeiten aus den Zeilen der Tafel, zum Beispiel $P_A(\overline{B}) = \frac{20}{80} = 0{,}25$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$ . Die vier Pfade ergeben die Felder der Tafel geteilt durch 200. Ihre Summe ist 1. $P(B)$ ergibt sich aus den zwei Pfaden, die bei $B$ enden, und stimmt mit $\frac{100}{200}$ überein.

Definition

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn die Information „ $A$ ist eingetreten“ die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht verändert: $P_A(B) = P(B)$ . Mit der Multiplikationsregel ist das gleichbedeutend mit der Produktformel unten. Gilt sie nicht, heißen die Ereignisse abhängig. Ob zwei Ereignisse unabhängig sind, prüfst du mit den Zahlen.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Beispiel

Unabhängigkeit prüfen

a) Sind „Instrument“ ( $A$ ) und „Verein“ ( $B$ ) in der Befragung unabhängig? b) In einer anderen Befragung von 200 Personen sind 120 Mädchen ( $M$ ), 110 fahren mit dem Rad ( $R$ ), und 66 sind Mädchen und fahren mit dem Rad. Sind $M$ und $R$ unabhängig?

\begin{aligned} \text{a)}\; & P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 \ne 0{,}3 = P(A \cap B) \\ \text{b)}\; & P(M) \cdot P(R) = 0{,}6 \cdot 0{,}55 = 0{,}33 = \frac{66}{200} = P(M \cap R) \end{aligned}

In a) sind die Ereignisse abhängig: Wer ein Instrument spielt, ist mit 0,75 häufiger im Verein als die Gesamtheit mit 0,5. In b) ist die Produktformel erfüllt, die Ereignisse sind unabhängig. Von den Mädchen fahren $\frac{66}{120} = 0{,}55$ mit dem Rad, genau wie in der ganzen Gruppe.

Häufige Fehler

Der Additionssatz ohne Abzug

Jemand berechnet $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 = 0{,}9$ .

Richtig ist

Die 60 Personen in $A \cap B$ sind in beiden Zahlen enthalten und wurden doppelt gezählt. Richtig ist $0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}6$ . Die Tafel bestätigt es mit $\frac{120}{200}$ .

Häufige Fehler

P_A(B) und P_B(A) verwechseln

Jemand sagt: „Wer im Verein ist, spielt mit Wahrscheinlichkeit 0,75 ein Instrument.“ Dabei meint er $P_A(B) = 0{,}75$ .

Richtig ist

$P_A(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für den Verein, wenn die Person ein Instrument spielt. Die Frage nach dem Instrument bei Vereinsmitgliedern ist $P_B(A) = \frac{60}{100} = 0{,}6$ . Die Bedingung ist die Gruppe, auf die du dich beschränkst. Sie bestimmt den Nenner.

Häufige Fehler

Unvereinbar bedeutet unabhängig

Jemand sagt: „Beim Würfeln sind $A$ : gerade Zahl und $B$ : die Zahl 5 unabhängig, weil sie nichts miteinander zu tun haben.“

Richtig ist

Es ist $P(A \cap B) = 0$ , aber $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ . Die Ereignisse sind abhängig: Ist eine gerade Zahl gefallen, kann es keine 5 mehr sein, also $P_A(B) = 0 \ne P(B)$ .

Zusammenfassung

Der Schnitt $A \cap B$ bedeutet „und“, die Vereinigung $A \cup B$ bedeutet „oder“ (auch beides), das Gegenereignis $\overline{A}$ bedeutet „nicht $A$ “.
In der Vierfeldertafel stehen die Daten zu zwei Merkmalen in vier Feldern mit Zeilen- und Spaltensummen. Geteilt durch die Gesamtzahl sind es Wahrscheinlichkeiten.
Additionssatz: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . Die Bedingung bestimmt die Zeile oder Spalte, die du als Gesamtheit nimmst.
Im Baumdiagramm stehen an den Ästen der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Entlang eines Pfades multiplizierst du, Pfade zum selben Ereignis addierst du.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt, gleichbedeutend mit $P_A(B) = P(B)$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Von 200 Personen gehören 90 zu $A$ , 70 zu $B$ und 30 zu beiden. Wie viele Personen gehören weder zu $A$ noch zu $B$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Es gilt $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}6$ und $P(A \cup B) = 0{,}8$ . Wie groß ist $P(A \cap B)$ ? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.

Aufgabe 3Multiple Choice

Welcher Term gibt die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$ an?

Aufgabe 4Numerisch

In einer Gruppe von 100 Personen sind 60 Frauen. 45 Personen tragen eine Brille, darunter 27 Frauen. Eine Person wird zufällig ausgewählt und ist eine Frau. Wie wahrscheinlich trägt sie eine Brille? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.

Aufgabe 5Multiple Choice

Sind in der Gruppe aus der vorigen Aufgabe die Ereignisse $F$ („Frau“) und $B$ („trägt eine Brille“) stochastisch unabhängig?

Aufgabe 6Freitext

Erkläre an der Befragung aus der Lektion (200 Jugendliche, 80 mit Instrument, 100 im Verein, 60 beides), warum $P_A(B)$ und $P_B(A)$ nicht gleich sind. Berechne beide.

Lektion 6.6 · Weitere Funktionstypen und bedingte Wahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel, verknüpfte Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition

Schnitt, Vereinigung und Gegenereignis

Der Schnitt $A \cap B$ bedeutet „ $A$ und $B$ “: Beide Ereignisse treten ein.
Die Vereinigung $A \cup B$ bedeutet „ $A$ oder $B$ “: Mindestens eines der Ereignisse tritt ein, es dürfen auch beide eintreten.
Das Gegenereignis $\overline{A}$ bedeutet „nicht $A$ “. Es gilt $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

A \cap B \;(\text{und}) \qquad A \cup B \;(\text{oder}) \qquad \overline{A} \;(\text{nicht})

Definition

Vierfeldertafel

Beispiel

Die Vierfeldertafel ausfüllen

Lege für die Befragung die Vierfeldertafel an: 200 Personen, 80 in $A$ , 100 in $B$ , 60 in $A \cap B$ . Gib $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ an.

	$B$ (Verein)	$\overline{B}$ (kein Verein)	Summe
$A$ (Instrument)	60	20	80
$\overline{A}$ (kein Instrument)	40	80	120
Summe	100	100	200

P(A \cap B) = \frac{60}{200} = 0{,}3 \qquad P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{80}{200} = 0{,}4

Definition

Additionssatz

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Beispiel

Wahrscheinlichkeit für „oder“

Wie wahrscheinlich spielt eine zufällig gewählte Person ein Instrument oder ist im Verein?

\begin{aligned} P(A \cup B) &= 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}6 \\ \text{Kontrolle:}\quad & \frac{60 + 20 + 40}{200} = \frac{120}{200} = 0{,}6 \end{aligned}

Definition

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)

Beispiel

Bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen

Berechne aus der Vierfeldertafel $P_A(B)$ , $P_B(A)$ und $P_{\overline{A}}(B)$ .

\begin{aligned} P_A(B) &= \frac{60}{80} = 0{,}75 \\ P_B(A) &= \frac{60}{100} = 0{,}6 \\ P_{\overline{A}}(B) &= \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \end{aligned}

Definition

Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Beispiel

Aus der Tafel in den Baum

Stelle die Befragung als Baumdiagramm dar: erste Stufe $A$ oder $\overline{A}$ , zweite Stufe $B$ oder $\overline{B}$ .

Pfad	Rechnung	Wahrscheinlichkeit
$A \to B$	$0{,}4 \cdot 0{,}75$	$0{,}3$
$A \to \overline{B}$	$0{,}4 \cdot 0{,}25$	$0{,}1$
$\overline{A} \to B$	$0{,}6 \cdot \frac{1}{3}$	$0{,}2$
$\overline{A} \to \overline{B}$	$0{,}6 \cdot \frac{2}{3}$	$0{,}4$

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5

Definition

Stochastische Unabhängigkeit

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Beispiel

Unabhängigkeit prüfen

\begin{aligned} \text{a)}\; & P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 \ne 0{,}3 = P(A \cap B) \\ \text{b)}\; & P(M) \cdot P(R) = 0{,}6 \cdot 0{,}55 = 0{,}33 = \frac{66}{200} = P(M \cap R) \end{aligned}

Häufige Fehler

Der Additionssatz ohne Abzug

Jemand berechnet $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 = 0{,}9$ .

Die 60 Personen in $A \cap B$ sind in beiden Zahlen enthalten und wurden doppelt gezählt. Richtig ist $0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}6$ . Die Tafel bestätigt es mit $\frac{120}{200}$ .

Häufige Fehler

P_A(B) und P_B(A) verwechseln

Jemand sagt: „Wer im Verein ist, spielt mit Wahrscheinlichkeit 0,75 ein Instrument.“ Dabei meint er $P_A(B) = 0{,}75$ .

Häufige Fehler

Unvereinbar bedeutet unabhängig

Jemand sagt: „Beim Würfeln sind $A$ : gerade Zahl und $B$ : die Zahl 5 unabhängig, weil sie nichts miteinander zu tun haben.“

Zusammenfassung

Der Schnitt $A \cap B$ bedeutet „und“, die Vereinigung $A \cup B$ bedeutet „oder“ (auch beides), das Gegenereignis $\overline{A}$ bedeutet „nicht $A$ “.
In der Vierfeldertafel stehen die Daten zu zwei Merkmalen in vier Feldern mit Zeilen- und Spaltensummen. Geteilt durch die Gesamtzahl sind es Wahrscheinlichkeiten.
Additionssatz: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . Die Bedingung bestimmt die Zeile oder Spalte, die du als Gesamtheit nimmst.
Im Baumdiagramm stehen an den Ästen der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Entlang eines Pfades multiplizierst du, Pfade zum selben Ereignis addierst du.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt, gleichbedeutend mit $P_A(B) = P(B)$ .