Lektion 6.5

Verknüpfung und Verkettung von Funktionen

17 min Lesezeit

Du betreibst einen Limonadenstand. Für $x$ verkaufte Becher bekommst du den Umsatz $U(x) = 2x$ Euro. Die Kosten sind $K(x) = 20 + 0{,}5x$ Euro: 20 Euro feste Kosten und 0,50 Euro je Becher. Der Gewinn ist der Umsatz minus die Kosten. Du rechnest also zwei Funktionen miteinander.

Ein anderer Fall: Ein Auto verbraucht, angenommen, 6 Liter auf 100 km. Nach $s$ Kilometern sind $V(s) = 0{,}06\,s$ Liter verbraucht. Ein Liter kostet angenommen 1,80 Euro, also kosten $V$ Liter $1{,}8\,V$ Euro. Die Kosten für $s$ Kilometer entstehen, indem du das Ergebnis der ersten Funktion in die zweite einsetzt.

Beide Verfahren bauen aus bekannten Funktionen neue. In dieser Lektion lernst du sie kennen. Dazu kommen die Tangensfunktion, eine Übersicht über alle Funktionstypen und eine Möglichkeit, einen Kreis mit Funktionen zu beschreiben.

Definition

Verknüpfung von Funktionen

Zwei Funktionen $f$ und $g$ kannst du wie Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, indem du an jeder Stelle $x$ die Funktionswerte verrechnest. Die neue Funktion ist nur dort erklärt, wo $f$ und $g$ beide erklärt sind. Beim Quotienten muss außerdem $g(x) \ne 0$ sein. So ist der Gewinn $G = U - K$ mit $G(x) = 2x - (20 + 0{,}5x) = 1{,}5x - 20$ .

\begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) & (f - g)(x) &= f(x) - g(x) \\ (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) & \left(\frac{f}{g}\right)(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \end{aligned}

Definition

Verkettung von Funktionen

Bei der Verkettung setzt du eine Funktion in eine andere ein. Du liest $g \circ f$ als „ $g$ nach $f$ “. Zuerst wird die innere Funktion $f$ angewendet, danach die äußere Funktion $g$ auf das Ergebnis. Erklärt ist $g \circ f$ für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ , bei denen $f(x)$ im Definitionsbereich von $g$ liegt. Die Spritkosten sind $K \circ V$ mit $(K \circ V)(s) = 1{,}8 \cdot 0{,}06\,s = 0{,}108\,s$ Euro.

Die Reihenfolge ist wichtig: Im Allgemeinen ist $g \circ f$ nicht dasselbe wie $f \circ g$ . Auch die Umkehrfunktion passt dazu: Die Verkettung $f^{-1} \circ f$ lässt jedes $x$ unverändert.

(g \circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr)

Beispiel

Verknüpfen und Verketten

Es seien $f(x) = x^2$ und $g(x) = x - 1$ . a) Bestimme $f + g$ , $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ . b) Bestimme $g \circ f$ und $f \circ g$ . c) Bestimme für $f(x) = x - 4$ und $g(x) = \sqrt{x}$ die Funktion $g \circ f$ samt Definitionsbereich.

\begin{aligned} \text{a)}\; & (f + g)(x) = x^2 + x - 1, \quad (f \cdot g)(x) = x^3 - x^2 \\ & \left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{x - 1}, \quad x \ne 1 \\ \text{b)}\; & (g \circ f)(x) = x^2 - 1, \quad (f \circ g)(x) = (x - 1)^2 \\ \text{c)}\; & (g \circ f)(x) = \sqrt{x - 4}, \quad x \ge 4 \end{aligned}

In a) rechnest du an jeder Stelle mit den Werten von $f$ und $g$ . Zur Probe bei $x = 3$ : $f(3) = 9$ und $g(3) = 2$ . Summe 11, Produkt 18 und Quotient 4,5 stimmen mit den Formeln überein. Beim Quotienten ist $x = 1$ verboten, weil dort $g(x) = 0$ ist. In b) setzt du bei $g \circ f$ zuerst $f(x) = x^2$ ein, also $g(x^2) = x^2 - 1$ . Bei $f \circ g$ setzt du $g(x) = x - 1$ in $f$ ein. Die Ergebnisse sind verschieden. In c) muss $x - 4 \ge 0$ sein.

Definition

Tangensfunktion

Aus Sinus und Kosinus entsteht durch Teilen die Tangensfunktion. Sie ist nur erklärt, wo $\cos x \ne 0$ gilt, also für $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ mit ganzem $k$ . Am Einheitskreis ist $\tan x$ die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt $P(x) = (\cos x \mid \sin x)$ . Im rechtwinkligen Dreieck ist es das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

Der Graph hat folgende Merkmale. Die Periode ist $\pi$ : Wenn $x$ um $\pi$ wächst, wechseln Sinus und Kosinus beide das Vorzeichen, der Quotient bleibt gleich. Die Nullstellen liegen bei $k\pi$ . An den Stellen $\frac{\pi}{2} + k\pi$ steigt oder fällt der Graph ohne Ende. Dort verläuft eine senkrechte Asymptote: eine Gerade, der sich der Graph beliebig nähert, ohne sie zu erreichen. Der Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$ .

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad \tan(x + \pi) = \tan x

Beispiel

Werte des Tangens

Berechne $\tan\frac{\pi}{3}$ und $\tan\frac{\pi}{4}$ . Begründe $\tan(x + \pi) = \tan x$ .

\begin{aligned} \tan\frac{\pi}{3} &= \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \\ \tan\frac{\pi}{4} &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \\ \tan(x + \pi) &= \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x \end{aligned}

Du setzt die Werte aus der Tabelle der Lektion zu Sinus und Kosinus ein. Der Punkt $P(x + \pi)$ liegt am Einheitskreis genau gegenüber von $P(x)$ . Beide Koordinaten ändern ihr Vorzeichen. Deshalb kürzt sich das Minuszeichen, und der Tangens hat die Periode $\pi$ .

Der Graph des Tangens

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus über den Graphen und lies die Werte ab. Wo schneidet der Graph die x-Achse? Wie weit liegen zwei benachbarte senkrechte Asymptoten auseinander? Mit + und − änderst du den Ausschnitt.

Definition

Systematisierung reeller Funktionen

Alle Funktionen dieser Lektion sind reelle Funktionen: Sie ordnen reellen Zahlen reelle Zahlen zu. Hier die Grundtypen im Überblick:

Typ	Term	Definitionsbereich	Kennzeichen
Lineare Funktion	$mx + n$	$\mathbb{R}$	Gerade
Ganzrationale Funktion	$a_n x^n + \dots + a_0$	$\mathbb{R}$	Grad $n$ , höchstens $n$ Nullstellen
Potenzfunktion	$x^n$	$\mathbb{R}$ für $n \ge 0$ , sonst $x \ne 0$	Symmetrie zur $y$ -Achse oder zum Ursprung
Gebrochen-rationale Funktion	$\frac{p(x)}{q(x)}$ mit ganzrationalen $p$ , $q$	$q(x) \ne 0$	Definitionslücken bei den Nullstellen des Nenners
Wurzelfunktion	$\sqrt{x}$	$x \ge 0$	Umkehrfunktion von $x^2$ für $x \ge 0$
Exponentialfunktion	$a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ )	$\mathbb{R}$	nur positive Werte, steigt oder fällt immer weiter
Logarithmusfunktion	$\log_a x$	$x > 0$	Umkehrfunktion von $a^x$
Sinus und Kosinus	$\sin x$ , $\cos x$	$\mathbb{R}$	Periode $2\pi$ , Werte zwischen $-1$ und $1$
Tangens	$\tan x$	$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$	Periode $\pi$ , senkrechte Asymptoten

Komplizierte Funktionen setzt du aus diesen Bausteinen zusammen: durch Verknüpfen (Summe, Produkt, Quotient), Verketten und Umkehren.

Beispiel

Aufbau einer Funktion erkennen

a) Zerlege $h(x) = 2\sin(3x) + \sqrt{x + 1}$ in Bausteine und bestimme ihren Definitionsbereich. b) Um welchen Typ handelt es sich bei $k(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; & h = u + v \text{ mit } u(x) = 2\sin(3x),\; v(x) = \sqrt{x + 1} \\ & u = 2 \cdot (\sin \circ w) \text{ mit } w(x) = 3x \\ & v(x) = \sqrt{r(x)} \text{ mit } r(x) = x + 1 \\ & D_h = \{x \mid x + 1 \ge 0\} = [-1;\, \infty[ \\ \text{b)}\; & \text{gebrochen-rational},\; D_k = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \end{aligned}

Zuletzt wird addiert, also ist $h$ eine Summe. Der erste Summand ist ein Vielfaches von $\sin(3x)$ : innen $3x$ , außen der Sinus. Der zweite ist die Wurzel von $x + 1$ . Der Sinus macht keine Einschränkung, die Wurzel verlangt $x + 1 \ge 0$ . In b) sind Zähler und Nenner ganzrational. Das Zeichen $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ liest du: alle reellen Zahlen außer $-2$ , denn dort wäre der Nenner null.

Definition

Parameterdarstellung am Beispiel des Kreises

Ein Kreis ist kein Funktionsgraph, denn zu einem $x$ gehören zwei $y$ -Werte. Du kannst ihn aber mit einer dritten Größe beschreiben, dem Parameter $t$ . Jedes $t$ liefert einen Punkt $(x(t) \mid y(t))$ . Alle diese Punkte bilden die Kurve. Das ist eine Parameterdarstellung. Du kannst $t$ als Zeit lesen: Ein Punkt läuft über die Kurve und ist zur Zeit $t$ an dieser Stelle.

Am Einheitskreis ist $P(t) = (\cos t \mid \sin t)$ . Ein Kreis mit dem Radius $r$ ist $r$ -mal so groß. Für den Kreis um den Ursprung gilt $x(t) = r \cos t$ und $y(t) = r \sin t$ mit $0 \le t < 2\pi$ . Für den Mittelpunkt $(m \mid n)$ addierst du $m$ und $n$ . Dass die Punkte auf dem Kreis liegen, folgt aus $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ : Es ist $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 \cos^2 t + r^2 \sin^2 t = r^2$ .

x(t) = m + r \cos t \qquad y(t) = n + r \sin t \qquad 0 \le t < 2\pi

Beispiel

Punkte eines Kreises

Ein Kreis hat den Radius 3 und den Mittelpunkt $(2 \mid 1)$ . Gib eine Parameterdarstellung an und berechne die Punkte für $t = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ und $\frac{3\pi}{2}$ .

$t$	$x(t) = 2 + 3\cos t$	$y(t) = 1 + 3\sin t$	Punkt
$0$	$5$	$1$	$(5 \mid 1)$
$\frac{\pi}{2}$	$2$	$4$	$(2 \mid 4)$
$\pi$	$-1$	$1$	$(-1 \mid 1)$
$\frac{3\pi}{2}$	$2$	$-2$	$(2 \mid -2)$

x(t) = 2 + 3\cos t \qquad y(t) = 1 + 3\sin t \qquad 0 \le t < 2\pi

Die vier Punkte liegen rechts, oben, links und unten vom Mittelpunkt. Probe: Jeder ist 3 Einheiten vom Mittelpunkt $(2 \mid 1)$ entfernt. Beim Punkt $(5 \mid 1)$ ist zum Beispiel $(5 - 2)^2 + (1 - 1)^2 = 9 = 3^2$ .

Häufige Fehler

Verkettung wie ein Produkt behandeln

Jemand schreibt $\sin(2x) = 2 \sin x$ .

Richtig ist

Bei $\sin(2x)$ ist $2x$ das Argument des Sinus, es ist eine Verkettung. $2\sin x$ ist dagegen ein Vielfaches von $\sin x$ . Probe bei $x = \frac{\pi}{2}$ : $\sin \pi = 0$ , aber $2 \sin\frac{\pi}{2} = 2$ .

Häufige Fehler

Der Tangens bleibt zwischen -1 und 1

Jemand sagt: „Wie Sinus und Kosinus nimmt der Tangens nur Werte von $-1$ bis $1$ an.“

Richtig ist

Der Tangens ist ein Quotient, und der Nenner $\cos x$ kann beliebig nahe bei 0 liegen. Zum Beispiel ist $\tan 1{,}5 \approx 14{,}1$ . Der Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$ .

Zusammenfassung

Funktionen verknüpfst du, indem du an jeder Stelle die Funktionswerte addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst. Beim Quotienten muss der Nenner von null verschieden sein.
Bei der Verkettung $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ wird zuerst die innere Funktion $f$ , dann die äußere $g$ angewendet. Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.
Der Tangens ist $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Er hat die Periode $\pi$ , die Nullstellen $k\pi$ und senkrechte Asymptoten bei $\frac{\pi}{2} + k\pi$ .
Die Grundtypen reeller Funktionen sind linear, ganzrational, Potenz, gebrochen-rational, Wurzel, Exponential, Logarithmus, Sinus, Kosinus und Tangens. Komplizierte Funktionen sind daraus zusammengesetzt.
Eine Parameterdarstellung beschreibt Punkte durch einen Parameter $t$ . Der Kreis um $(m \mid n)$ mit Radius $r$ ist $x = m + r\cos t$ und $y = n + r\sin t$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Es sei $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = x^2$ . Wie groß ist $(g \circ f)(2)$ ?

Aufgabe 2Multiple Choice

Es sei $f(x) = 3x$ und $g(x) = x - 2$ . Was ist $(f \circ g)(x)$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Die Funktion $h(x) = \sqrt{2x - 6}$ ist nur für manche $x$ erklärt. Welches ist die kleinste Zahl im Definitionsbereich?

Aufgabe 4Numerisch

Für einen Winkel $x$ gilt $\sin x = 0{,}6$ und $\cos x = 0{,}8$ . Wie groß ist $\tan x$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Kreis hat die Parameterdarstellung $x(t) = 2 + 3\cos t$ und $y(t) = 1 + 3\sin t$ . Wie groß ist die $x$ -Koordinate des Punktes für $t = \pi$ ?

Aufgabe 6Freitext

Es sei $f(x) = x + 1$ und $g(x) = x^2$ . Berechne $(g \circ f)(x)$ und $(f \circ g)(x)$ . Vergleiche die beiden Ergebnisse an der Stelle $x = 2$ . Was folgt daraus für die Reihenfolge?

Lektion 6.5 · Weitere Funktionstypen und bedingte Wahrscheinlichkeit

Verknüpfung und Verkettung von Funktionen

Definition

Verknüpfung von Funktionen

\begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) & (f - g)(x) &= f(x) - g(x) \\ (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) & \left(\frac{f}{g}\right)(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \end{aligned}

Definition

Verkettung von Funktionen

Die Reihenfolge ist wichtig: Im Allgemeinen ist $g \circ f$ nicht dasselbe wie $f \circ g$ . Auch die Umkehrfunktion passt dazu: Die Verkettung $f^{-1} \circ f$ lässt jedes $x$ unverändert.

(g \circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr)

Beispiel

Verknüpfen und Verketten

\begin{aligned} \text{a)}\; & (f + g)(x) = x^2 + x - 1, \quad (f \cdot g)(x) = x^3 - x^2 \\ & \left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{x - 1}, \quad x \ne 1 \\ \text{b)}\; & (g \circ f)(x) = x^2 - 1, \quad (f \circ g)(x) = (x - 1)^2 \\ \text{c)}\; & (g \circ f)(x) = \sqrt{x - 4}, \quad x \ge 4 \end{aligned}

Definition

Tangensfunktion

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad \tan(x + \pi) = \tan x

Beispiel

Werte des Tangens

Berechne $\tan\frac{\pi}{3}$ und $\tan\frac{\pi}{4}$ . Begründe $\tan(x + \pi) = \tan x$ .

\begin{aligned} \tan\frac{\pi}{3} &= \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \\ \tan\frac{\pi}{4} &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \\ \tan(x + \pi) &= \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x \end{aligned}

Definition

Systematisierung reeller Funktionen

Alle Funktionen dieser Lektion sind reelle Funktionen: Sie ordnen reellen Zahlen reelle Zahlen zu. Hier die Grundtypen im Überblick:

Typ	Term	Definitionsbereich	Kennzeichen
Lineare Funktion	$mx + n$	$\mathbb{R}$	Gerade
Ganzrationale Funktion	$a_n x^n + \dots + a_0$	$\mathbb{R}$	Grad $n$ , höchstens $n$ Nullstellen
Potenzfunktion	$x^n$	$\mathbb{R}$ für $n \ge 0$ , sonst $x \ne 0$	Symmetrie zur $y$ -Achse oder zum Ursprung
Gebrochen-rationale Funktion	$\frac{p(x)}{q(x)}$ mit ganzrationalen $p$ , $q$	$q(x) \ne 0$	Definitionslücken bei den Nullstellen des Nenners
Wurzelfunktion	$\sqrt{x}$	$x \ge 0$	Umkehrfunktion von $x^2$ für $x \ge 0$
Exponentialfunktion	$a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ )	$\mathbb{R}$	nur positive Werte, steigt oder fällt immer weiter
Logarithmusfunktion	$\log_a x$	$x > 0$	Umkehrfunktion von $a^x$
Sinus und Kosinus	$\sin x$ , $\cos x$	$\mathbb{R}$	Periode $2\pi$ , Werte zwischen $-1$ und $1$
Tangens	$\tan x$	$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$	Periode $\pi$ , senkrechte Asymptoten

Komplizierte Funktionen setzt du aus diesen Bausteinen zusammen: durch Verknüpfen (Summe, Produkt, Quotient), Verketten und Umkehren.

Beispiel

Aufbau einer Funktion erkennen

a) Zerlege $h(x) = 2\sin(3x) + \sqrt{x + 1}$ in Bausteine und bestimme ihren Definitionsbereich. b) Um welchen Typ handelt es sich bei $k(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; & h = u + v \text{ mit } u(x) = 2\sin(3x),\; v(x) = \sqrt{x + 1} \\ & u = 2 \cdot (\sin \circ w) \text{ mit } w(x) = 3x \\ & v(x) = \sqrt{r(x)} \text{ mit } r(x) = x + 1 \\ & D_h = \{x \mid x + 1 \ge 0\} = [-1;\, \infty[ \\ \text{b)}\; & \text{gebrochen-rational},\; D_k = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \end{aligned}

Definition

Parameterdarstellung am Beispiel des Kreises

x(t) = m + r \cos t \qquad y(t) = n + r \sin t \qquad 0 \le t < 2\pi

Beispiel

Punkte eines Kreises

Ein Kreis hat den Radius 3 und den Mittelpunkt $(2 \mid 1)$ . Gib eine Parameterdarstellung an und berechne die Punkte für $t = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ und $\frac{3\pi}{2}$ .

$t$	$x(t) = 2 + 3\cos t$	$y(t) = 1 + 3\sin t$	Punkt
$0$	$5$	$1$	$(5 \mid 1)$
$\frac{\pi}{2}$	$2$	$4$	$(2 \mid 4)$
$\pi$	$-1$	$1$	$(-1 \mid 1)$
$\frac{3\pi}{2}$	$2$	$-2$	$(2 \mid -2)$

x(t) = 2 + 3\cos t \qquad y(t) = 1 + 3\sin t \qquad 0 \le t < 2\pi

Häufige Fehler

Verkettung wie ein Produkt behandeln

Jemand schreibt $\sin(2x) = 2 \sin x$ .

Häufige Fehler

Der Tangens bleibt zwischen -1 und 1

Jemand sagt: „Wie Sinus und Kosinus nimmt der Tangens nur Werte von $-1$ bis $1$ an.“

Der Tangens ist ein Quotient, und der Nenner $\cos x$ kann beliebig nahe bei 0 liegen. Zum Beispiel ist $\tan 1{,}5 \approx 14{,}1$ . Der Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$ .

Zusammenfassung

Funktionen verknüpfst du, indem du an jeder Stelle die Funktionswerte addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst. Beim Quotienten muss der Nenner von null verschieden sein.
Bei der Verkettung $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ wird zuerst die innere Funktion $f$ , dann die äußere $g$ angewendet. Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.
Der Tangens ist $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Er hat die Periode $\pi$ , die Nullstellen $k\pi$ und senkrechte Asymptoten bei $\frac{\pi}{2} + k\pi$ .
Die Grundtypen reeller Funktionen sind linear, ganzrational, Potenz, gebrochen-rational, Wurzel, Exponential, Logarithmus, Sinus, Kosinus und Tangens. Komplizierte Funktionen sind daraus zusammengesetzt.
Eine Parameterdarstellung beschreibt Punkte durch einen Parameter $t$ . Der Kreis um $(m \mid n)$ mit Radius $r$ ist $x = m + r\cos t$ und $y = n + r\sin t$ .