Eine Funktion $f$ ordnet jedem $x$ aus ihrem Definitionsbereich $D_f$ (den erlaubten $x$-Werten) genau einen Wert $f(x)$ zu. Die Werte, die dabei vorkommen, bilden den Wertebereich $W_f$. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht die Zuordnung rückgängig: Sie ordnet jedem Wert $y$ aus $W_f$ das $x$ zu, aus dem er entstanden ist. Also gilt $f^{-1}(f(x)) = x$ und $f(f^{-1}(y)) = y$. Die beiden Bereiche tauschen die Rollen: $D_{f^{-1}} = W_f$ und $W_{f^{-1}} = D_f$.

Das geht nur, wenn jeder Wert $y$ von höchstens einem $x$ stammt. Dann heißt $f$ umkehrbar. Am Graphen siehst du es so: Jede waagerechte Gerade schneidet ihn höchstens einmal. Eine Funktion, die auf ihrem ganzen Definitionsbereich immer weiter steigt (oder immer weiter fällt), ist umkehrbar.

Achtung: $f^{-1}$ ist nicht der Kehrwert $\frac{1}{f}$. Die hochgestellte $-1$ bedeutet hier „Umkehren“.

So findest du den Term von $f^{-1}$:

• Schreibe $y = f(x)$.
• Löse die Gleichung nach $x$ auf.
• Vertausche die Namen $x$ und $y$, damit die Eingabe von $f^{-1}$ wieder $x$ heißt.
• Bestimme den Definitionsbereich: $D_{f^{-1}} = W_f$.

Für den Graphen gilt: Liegt der Punkt $(a \mid b)$ auf dem Graphen von $f$, dann ist $f(a) = b$ und deshalb $f^{-1}(b) = a$. Der Punkt $(b \mid a)$ liegt auf dem Graphen von $f^{-1}$. Beim Vertauschen der Koordinaten wird ein Punkt an der Geraden $y = x$ gespiegelt. Diese Gerade, die durch $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$ und $(2 \mid 2)$ geht, heißt erste Winkelhalbierende. Der Graph der Umkehrfunktion ist also der an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelte Graph von $f$.

Die Funktion $f(x) = x^2$ mit $D_f = \mathbb{R}$ ist nicht umkehrbar: $f(2) = f(-2) = 4$, und die Gerade $y = 4$ schneidet die Parabel zweimal. Du machst sie umkehrbar, indem du den Definitionsbereich einschränkst auf einen Bereich, in dem sie nur steigt oder nur fällt. Für $x \ge 0$ (rechter Ast der Parabel) ist die Umkehrfunktion die Wurzelfunktion $\sqrt{x}$. Für $x \le 0$ (linker Ast) ist sie $-\sqrt{x}$.

Die Potenzfunktion $f(x) = x^n$ für $x \ge 0$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$. So ist $\sqrt{x}$ die Umkehrfunktion von $x^2$ und $\sqrt[3]{x}$ die von $x^3$ (jeweils für $x \ge 0$).

Die Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ mit $a > 0$ und $a \ne 1$ nimmt nur positive Werte an und steigt oder fällt immer weiter. Sie ist also umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion $f^{-1}(x) = \log_a x$ mit dem Definitionsbereich $]0;\, \infty[$ und der Wertemenge $\mathbb{R}$. Das passt zur Erklärung des Logarithmus: $\log_a b$ ist der Exponent, mit dem du $a$ potenzieren musst, um $b$ zu erhalten. Die Graphen von $a^x$ und $\log_a x$ liegen spiegelbildlich zur ersten Winkelhalbierenden.