Lektion 2.2

Ableitungsregeln: Potenz, Faktor und Summe

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die Potenzregel $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ für natürliche $n$ begründen und sie auf negative und gebrochene Exponenten anwenden
erklären, warum eine Konstante beim Ableiten wegfällt und ein konstanter Faktor stehen bleibt
Summen Glied für Glied ableiten und begründen, warum das erlaubt ist
die Ableitungen von $\sin$ und $\cos$ am Graphen ablesen und anwenden
Wurzeln und Brüche vor dem Ableiten in Potenzen umschreiben

Ein Muster, das nach einer Regel verlangt. In der letzten Lektion haben wir mit der h-Methode zwei Ableitungen berechnet: $(x^2)' = 2x$ und $(x^3)' = 3x^2$ . Außerdem wissen wir, dass die Gerade $y = x$ überall die Steigung $1$ hat, also $(x)' = 1$ . Jedes Mal war die Rechnung länger als die vorige. Für $x^{10}$ oder für $4x^3 - 6x^2 + 5x - 7$ möchte man das nicht noch einmal von vorn machen.

Schreibt man die drei Ergebnisse untereinander, fällt etwas auf:

$f(x)$	$x^1$	$x^2$	$x^3$
$f'(x)$	$1 = 1 \cdot x^0$	$2x^1$	$3x^2$

Der Exponent wandert nach vorn als Faktor, und der neue Exponent ist um $1$ kleiner. Wenn dieses Muster immer gilt, braucht man die h-Methode für Potenzen nie wieder. In dieser Lektion prüfen wir es, beweisen es und bauen daraus zusammen mit zwei weiteren einfachen Regeln ein Werkzeug, mit dem man jedes Polynom in einer Zeile ableitet.

Vermute zuerst

Was ist nach dem Muster die Ableitung von $f(x) = x^4$ ? Und wie steil ist der Graph dann an der Stelle $x = 1$ ?

Der Graph von

f(x) = x^4

und seine Steigungen

$x$: −1,3
$f(x)$: 2,856
$f'(x)$: −8,788

$f$ fällt an dieser Stelle, die Tangente hat die Steigung $-8{,}79$ . Deshalb liegt der Punkt von $f'$ unter der $x$ -Achse.

Links von $0$ fällt der Graph, also liegen die Steigungen unter der Achse. Rechts steigt er immer steiler. Die Spur ist eine gestreckte kubische Parabel: der Graph von $4x^3$ .

Probier es aus

Zieh den Punkt langsam von links nach rechts über den Graphen. Unten entsteht Punkt für Punkt der Graph der Steigungen.
Lies die Steigung bei $x = 1$ , $x = 0{,}5$ und $x = -1$ ab. Vergleiche mit $4x^3$ : $4$ , $0{,}5$ und $-4$ .
Warum ist die Steigung bei $x = 0$ genau $0$ , und warum ist sie links davon negativ?
Welche Form hat der entstandene Graph? Erinnert er an $x^3$ ?

Schritt für Schritt

Warum die Potenzregel für jede natürliche Zahl $n$ gilt

Wir führen die h-Methode für $f(x) = x^n$ einmal allgemein durch. Die einzige Schwierigkeit ist, $(x + h)^n$ auszumultiplizieren, ohne alle Terme kennen zu müssen. Zum Glück brauchen wir nur zwei davon.

Der Differenzenquotient:
$\frac{(x + h)^n - x^n}{h}$

Schritt 1 von 5

Die Potenzregel gilt nicht nur für $n = 1, 2, 3, \ldots$ , sondern für jeden reellen Exponenten $r$ , solange $x^r$ definiert ist (für nicht-ganze $r$ also für $x > 0$ ). Den allgemeinen Beweis liefert später die Kettenregel. Zwei wichtige Fälle kann man aber schon jetzt mit der h-Methode prüfen:

Kehrwert, $\frac{1}{x} = x^{-1}$ . Nach der Regel wäre die Ableitung $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ . Mit der h-Methode:

$\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x + h)}{h\,x\,(x + h)} = \frac{-1}{x\,(x + h)} \to -\frac{1}{x^2}.$

Wurzel, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Nach der Regel wäre die Ableitung $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Mit der h-Methode, erweitert mit $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ :

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(x + h) - x}{h\,(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Beide Male stimmt die Regel.

Satz

Potenzregel

Für jede reelle Zahl $r$ und alle $x$ , für die $x^r$ definiert ist (bei nicht-ganzem $r$ nur $x > 0$ , bei negativem $r$ nur $x \neq 0$ ), gilt

(x^r)' = r\,x^{r-1}

Beispiel

Wurzeln und Brüche erst umschreiben

Die Potenzregel braucht die Form $x^r$ . Deshalb schreibt man Wurzeln und Brüche zuerst um:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\;\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ , $\;\sqrt{x^3} = x^{3/2}$
$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ , $\;\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

Dann ableiten und, wenn man will, wieder zurückschreiben:

\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}, \qquad (\sqrt{x^3})' = (x^{3/2})' = \tfrac{3}{2}x^{1/2} = \tfrac{3}{2}\sqrt{x}

Bei negativen Exponenten aufpassen: $-2 - 1 = -3$ , nicht $-1$ . Der Exponent wird um $1$ kleiner, auch wenn er schon negativ ist.

Kurz geprüft

Leite $f(x) = \frac{1}{x^3}$ ab.

Was mit Zahlen passiert, die vor oder neben der Potenz stehen. Ein Polynom wie $4x^3 - 6x^2 + 5x - 7$ besteht aus Potenzen, die mit Zahlen multipliziert und dann addiert werden. Für die Ableitung müssen wir also noch wissen, was ein Faktor wie die $4$ bewirkt, was eine Summe bewirkt und was mit einer allein stehenden Zahl wie $-7$ passiert. Alle drei Antworten kann man sich am Graphen klarmachen, bevor man sie beweist.

Verschieben. Der Graph von $x^2 + 3$ ist der Graph von $x^2$ , um $3$ nach oben geschoben. Beim Verschieben ändert sich keine Steigung. Also ist $(x^2 + 3)' = 2x$ : Die $3$ fällt weg.
Strecken. Der Graph von $4x^3$ entsteht aus dem von $x^3$ , indem jede Höhe mit $4$ multipliziert wird. Dann wird auch jeder Höhenunterschied, und damit jede Steigung, viermal so groß.
Addieren. Bei $x^3 + x^2$ wachsen zwei Teile gleichzeitig. Wenn $x$ ein kleines Stück zunimmt, ist der gesamte Zuwachs die Summe der beiden Zuwächse.

Satz

Konstanten-, Faktor- und Summenregel

Sind $f$ und $g$ differenzierbar und ist $c$ eine Zahl, dann gilt

(c)' = 0, \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'

Schritt für Schritt

Ein Polynom in einer Zeile

Gesucht ist die Ableitung von $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x - 7$ . Mit den Regeln geht man Summand für Summand vor.

$4x^3$ : Faktor $4$ bleibt, $(x^3)' = 3x^2$ .
$(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$

Schritt 1 von 5

Kurz geprüft

Leite $f(x) = \tfrac{1}{3}x^6 - 2x^3 + x + 10$ ab.

Häufige Fehler

Die Regeln für Produkte erfinden

Man überträgt die Summenregel auf Produkte und rechnet $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ .

Richtig ist

Für Produkte gibt es keine so einfache Regel. Hier hilft Zusammenfassen: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ , also ist die Ableitung $5x^4$ , nicht $6x^3$ . Für Produkte, die man nicht zusammenfassen kann, wie $x^2 \sin x$ , braucht man die Produktregel aus einer späteren Lektion. Nur ein konstanter Faktor darf einfach stehen bleiben.

Und Funktionen, die keine Potenzen sind? Sinus und Kosinus beschreiben alles, was schwingt: Pendel, Wechselstrom, Schall, Gezeiten. Ihre Ableitungen lassen sich nicht mit der Potenzregel finden. Aber man kann sie am Graphen sehen. Dafür muss man $x$ im Bogenmaß messen: Der Winkel $x$ ist die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis, ein Vollkreis ist also $2\pi \approx 6{,}28$ statt $360°$ . Nur mit dieser Einheit werden die Ableitungen so einfach wie unten.

Die Steigungen der Sinuskurve

$x$: −6
$f(x)$: 0,279
$f'(x)$: 0,96

$f$ steigt an dieser Stelle, die Tangente hat die Steigung $0{,}96$ . Deshalb liegt der Punkt von $f'$ über der $x$ -Achse.

Wo $\sin$ am steilsten steigt (bei $0$ , $\pm 2\pi$ ), hat die Spur den Wert $1$ . Wo $\sin$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, ist die Spur $0$ . Die Spur ist die Kosinuskurve.

Probier es aus

Zieh den Punkt einmal über die ganze Kurve und sieh dir die Spur unten an.
Wo ist die Sinuskurve am steilsten? Wie groß ist die Steigung dort?
An welchen Stellen ist die Tangente waagerecht? Wo schneidet die Spur dort die Achse?
Welche bekannte Kurve ist die Spur? Prüfe an der Stelle $x = 0$ : Welchen Wert hat sie dort?

Satz

Ableitung von Sinus und Kosinus

Mit $x$ im Bogenmaß gilt

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x

Kurz geprüft

Wie steil ist der Graph von $f(x) = 2\sin x$ an der Stelle $x = \frac{\pi}{3}$ ? (Es ist $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .)

Häufige Fehler

Die Konstante und das $x$ verwechseln

Man leitet $5x$ zu $0$ ab, weil die $5$ eine Konstante ist. Oder man leitet $\pi^2$ zu $2\pi$ ab, weil es wie eine Potenz aussieht.

Richtig ist

Entscheidend ist, ob $x$ vorkommt. $5x$ ist eine Gerade mit Steigung $5$ , also ist $(5x)' = 5$ . $\pi^2 \approx 9{,}87$ ist dagegen eine feste Zahl ohne $x$ , also ist $(\pi^2)' = 0$ . Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht.

Häufige Fehler

Bei negativen Exponenten falsch zählen

Man rechnet $(x^{-2})' = -2x^{-1}$ , weil man den Exponenten „um $1$ näher an die Null“ bringt.

Richtig ist

$r - 1$ heißt immer eins weniger: $-2 - 1 = -3$ . Also $(x^{-2})' = -2x^{-3}$ . Probe am Graphen: $\frac{1}{x^2}$ fällt für $x > 0$ sehr steil, wenn $x$ klein ist. Das passt zu $-\frac{2}{x^3}$ , nicht zu $-\frac{2}{x}$ .

Häufige Fehler

Die Wurzel direkt ableiten

Man schreibt $(\sqrt{x})' = \sqrt{1}$ oder $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Richtig ist

Erst umschreiben: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Dann $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Den Faktor $\frac{1}{2}$ vergisst man leicht. Es lohnt sich, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ auswendig zu wissen.

Zusammenfassung

Potenzregel: $(x^r)' = r\,x^{r-1}$ . Bewiesen für natürliche $r$ durch Ausmultiplizieren von $(x + h)^n$ , gültig für alle reellen Exponenten.
Wurzeln und Brüche vorher als Potenz schreiben: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$ .
Konstanten fallen weg, denn Verschieben ändert keine Steigung.
Ein konstanter Faktor bleibt stehen, denn Strecken streckt alle Steigungen mit.
Summen und Differenzen leitet man Glied für Glied ab.
Mit $x$ im Bogenmaß: $(\sin x)' = \cos x$ und $(\cos x)' = -\sin x$ .
Für Produkte, Quotienten und Verkettungen braucht man eigene Regeln (folgende Lektionen).

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Sei $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5$ . Berechne $f'(2)$ .

Aufgabe 2Term eingeben

Leite $f(x) = 5x^3 - 2x + 7$ ab.

Aufgabe 3Term eingeben

Leite $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ab.

Aufgabe 4Term eingeben

Leite $f(x) = x\sqrt{x}$ für $x > 0$ ab. Tipp: Fasse erst zu einer Potenz zusammen.

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Ableitung hat $f(x) = \pi^3 + x^3 - 3\cos x$ ?

Aufgabe 6Numerisch

Der Graph von $f(x) = x^3 - 6x^2$ hat zwei Stellen mit waagerechter Tangente. Eine ist $x = 0$ . Wo liegt die andere?

Aufgabe 7Numerisch

Für welchen Wert von $a$ hat der Graph von $f(x) = ax^3 + 2x$ an der Stelle $x = 1$ die Steigung $8$ ?

Aufgabe 8Freitext

Beweise mit der h-Methode, dass $(x^4)' = 4x^3$ ist. Multipliziere dazu $(x + h)^4$ vollständig aus und erkläre, welche Terme beim Grenzübergang verschwinden.

Lektion 2.2 · Ableitung und Funktionsuntersuchung

Ableitungsregeln: Potenz, Faktor und Summe

Schreibt man die drei Ergebnisse untereinander, fällt etwas auf:

$f(x)$	$x^1$	$x^2$	$x^3$
$f'(x)$	$1 = 1 \cdot x^0$	$2x^1$	$3x^2$

Schritt für Schritt

Warum die Potenzregel für jede natürliche Zahl $n$ gilt

Der Differenzenquotient:
$\frac{(x + h)^n - x^n}{h}$
$(x + h)^n$ ist ein Produkt aus $n$ gleichen Klammern. Beim Ausmultiplizieren nimmt man aus jeder Klammer entweder das $x$ oder das $h$ und multipliziert. Nimmt man überall $x$ , entsteht $x^n$ , und zwar auf genau eine Weise.
$(x + h)(x + h) \cdots (x + h) = x^n + \ldots$
Nimmt man aus genau einer Klammer das $h$ und aus allen anderen das $x$ , entsteht $x^{n-1}h$ . Dafür gibt es $n$ Möglichkeiten, eine für jede Klammer. Zusammen ergibt das $n\,x^{n-1}h$ .
$(x + h)^n = x^n + n\,x^{n-1}h + \text{(Terme mit mindestens } h^2)$
Einsetzen: $x^n$ hebt sich weg, und man kann durch $h$ kürzen:
$\frac{x^n + n\,x^{n-1}h + h^2 R - x^n}{h} = n\,x^{n-1} + h \cdot R$
Jetzt $h$ gegen $0$ gehen lassen. Der zweite Summand verschwindet, weil $R$ dabei nicht über alle Grenzen wächst:
$\lim_{h \to 0} \bigl(n\,x^{n-1} + h \cdot R\bigr) = n\,x^{n-1}$

Für jede natürliche Zahl $n \geq 1$ gilt die Potenzregel:

(x^n)' = n\,x^{n-1}

Kehrwert, $\frac{1}{x} = x^{-1}$ . Nach der Regel wäre die Ableitung $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ . Mit der h-Methode:

$\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x + h)}{h\,x\,(x + h)} = \frac{-1}{x\,(x + h)} \to -\frac{1}{x^2}.$

Wurzel, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Nach der Regel wäre die Ableitung $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Mit der h-Methode, erweitert mit $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ :

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(x + h) - x}{h\,(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Beide Male stimmt die Regel.

Satz

Potenzregel

Für jede reelle Zahl $r$ und alle $x$ , für die $x^r$ definiert ist (bei nicht-ganzem $r$ nur $x > 0$ , bei negativem $r$ nur $x \neq 0$ ), gilt

(x^r)' = r\,x^{r-1}

Beweis

Für natürliche $r$ steht der Beweis oben. Für $r = 0$ ist $x^0 = 1$ konstant, die Ableitung ist $0 = 0 \cdot x^{-1}$ . Die Fälle $r = -1$ und $r = \tfrac{1}{2}$ haben wir mit der h-Methode nachgerechnet. Der allgemeine Fall folgt mit der Kettenregel und der Exponentialfunktion, siehe die Lektion über die natürliche Logarithmusfunktion.

q.e.d.

Beispiel

Wurzeln und Brüche erst umschreiben

Die Potenzregel braucht die Form $x^r$ . Deshalb schreibt man Wurzeln und Brüche zuerst um:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\;\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ , $\;\sqrt{x^3} = x^{3/2}$
$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ , $\;\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

Dann ableiten und, wenn man will, wieder zurückschreiben:

\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}, \qquad (\sqrt{x^3})' = (x^{3/2})' = \tfrac{3}{2}x^{1/2} = \tfrac{3}{2}\sqrt{x}

Bei negativen Exponenten aufpassen: $-2 - 1 = -3$ , nicht $-1$ . Der Exponent wird um $1$ kleiner, auch wenn er schon negativ ist.

Verschieben. Der Graph von $x^2 + 3$ ist der Graph von $x^2$ , um $3$ nach oben geschoben. Beim Verschieben ändert sich keine Steigung. Also ist $(x^2 + 3)' = 2x$ : Die $3$ fällt weg.
Strecken. Der Graph von $4x^3$ entsteht aus dem von $x^3$ , indem jede Höhe mit $4$ multipliziert wird. Dann wird auch jeder Höhenunterschied, und damit jede Steigung, viermal so groß.
Addieren. Bei $x^3 + x^2$ wachsen zwei Teile gleichzeitig. Wenn $x$ ein kleines Stück zunimmt, ist der gesamte Zuwachs die Summe der beiden Zuwächse.

Satz

Konstanten-, Faktor- und Summenregel

Sind $f$ und $g$ differenzierbar und ist $c$ eine Zahl, dann gilt

(c)' = 0, \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'

Beweis

Alle drei folgen direkt aus dem Differenzenquotienten.

Konstante. Für $k(x) = c$ ist $\frac{k(x + h) - k(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0$ für jedes $h \neq 0$ . Also ist auch der Grenzwert $0$ .

Faktor. Für $k(x) = c \cdot f(x)$ ist

$\frac{c\,f(x + h) - c\,f(x)}{h} = c \cdot \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$

Für $h \to 0$ geht der Bruch rechts gegen $f'(x)$ , der Faktor $c$ bleibt stehen.

Summe. Für $k(x) = f(x) + g(x)$ sortiert man die vier Terme im Zähler um:

$\frac{f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}.$

Die beiden Brüche gehen gegen $f'(x)$ und $g'(x)$ , also die Summe gegen $f'(x) + g'(x)$ . Für Differenzen gilt dasselbe, denn $f - g = f + (-1) \cdot g$ .

q.e.d.

Schritt für Schritt

Ein Polynom in einer Zeile

Gesucht ist die Ableitung von $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x - 7$ . Mit den Regeln geht man Summand für Summand vor.

$4x^3$ : Faktor $4$ bleibt, $(x^3)' = 3x^2$ .
$(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$
$-6x^2$ : Faktor $-6$ bleibt, $(x^2)' = 2x$ .
$(-6x^2)' = -6 \cdot 2x = -12x$
$5x$ : Faktor $5$ bleibt, $(x)' = 1$ .
$(5x)' = 5$
$-7$ : Konstante, fällt weg.
$(-7)' = 0$
Alles zusammen nach der Summenregel:
$f'(x) = 12x^2 - 12x + 5$

Mit etwas Übung schreibt man das direkt hin:

(4x^3 - 6x^2 + 5x - 7)' = 12x^2 - 12x + 5

Häufige Fehler

Die Regeln für Produkte erfinden

Man überträgt die Summenregel auf Produkte und rechnet $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ .

Satz

Ableitung von Sinus und Kosinus

Mit $x$ im Bogenmaß gilt

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x

Beweis

Am Graphen haben wir die erste Formel gesehen. Für einen Beweis braucht man zwei Bausteine.

Erstens das Additionstheorem $\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ . Es beschreibt, wie sich der Sinus einer Winkelsumme aus den einzelnen Winkeln ergibt, und steht in jeder Formelsammlung.

Zweitens zwei Grenzwerte für kleine Winkel: $\frac{\sin h}{h} \to 1$ und $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ für $h \to 0$ . Den ersten kann man im Versuch zur Lektion über Grenzwerte mit $\frac{\sin x}{x}$ ausprobieren. Anschaulich: Für kleine Winkel ist der Bogen $h$ fast so lang wie die Höhe $\sin h$ , und $\cos h$ ist fast $1$ .

Damit wird der Differenzenquotient

$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \to \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.$

Für den Kosinus geht man genauso mit $\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ vor und erhält $-\sin x$ . Das Minus sieht man auch am Graphen: Bei $x = 0$ hat $\cos$ einen Hochpunkt, danach fällt er, während $\sin$ dort positiv wird.

q.e.d.

Häufige Fehler

Die Konstante und das $x$ verwechseln

Man leitet $5x$ zu $0$ ab, weil die $5$ eine Konstante ist. Oder man leitet $\pi^2$ zu $2\pi$ ab, weil es wie eine Potenz aussieht.

Häufige Fehler

Bei negativen Exponenten falsch zählen

Man rechnet $(x^{-2})' = -2x^{-1}$ , weil man den Exponenten „um $1$ näher an die Null“ bringt.

Häufige Fehler

Die Wurzel direkt ableiten

Man schreibt $(\sqrt{x})' = \sqrt{1}$ oder $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Zusammenfassung

Potenzregel: $(x^r)' = r\,x^{r-1}$ . Bewiesen für natürliche $r$ durch Ausmultiplizieren von $(x + h)^n$ , gültig für alle reellen Exponenten.
Wurzeln und Brüche vorher als Potenz schreiben: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$ .
Konstanten fallen weg, denn Verschieben ändert keine Steigung.
Ein konstanter Faktor bleibt stehen, denn Strecken streckt alle Steigungen mit.
Summen und Differenzen leitet man Glied für Glied ab.
Mit $x$ im Bogenmaß: $(\sin x)' = \cos x$ und $(\cos x)' = -\sin x$ .
Für Produkte, Quotienten und Verkettungen braucht man eigene Regeln (folgende Lektionen).

Warum die Potenzregel für jede natürliche Zahl nnn gilt

Wurzeln und Brüche erst umschreiben

Ein Polynom in einer Zeile

Die Regeln für Produkte erfinden

Die Konstante und das xxx verwechseln

Bei negativen Exponenten falsch zählen

Die Wurzel direkt ableiten

Zusammenfassung

Übungen

Warum die Potenzregel für jede natürliche Zahl $n$ gilt

Die Konstante und das $x$ verwechseln