Lektion 2.5

Kurvendiskussion Schritt für Schritt

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine ganzrationale Funktion in einer festen Reihenfolge vollständig untersuchen
Symmetrie und Verhalten für $x \to \pm\infty$ am Funktionsterm ablesen und begründen
an der Vielfachheit einer Nullstelle erkennen, ob der Graph die Achse schneidet oder berührt
Nullstellen dritten Grades durch Raten und Polynomdivision finden
aus den Ergebnissen eine Skizze anfertigen und sie mit Plausibilitätsregeln prüfen

Ein Steckbrief statt einer Wertetabelle. Mit einer Wertetabelle bekommt man einzelne Punkte, aber man weiß nie, was dazwischen passiert. Vielleicht liegt zwischen $x = 1$ und $x = 2$ ein Tiefpunkt, den man übersehen hat. Eine Kurvendiskussion geht anders vor: Sie bestimmt genau die Punkte, an denen sich am Verlauf etwas ändert. Dazwischen weiß man dann sicher, was der Graph tut: Zwischen zwei benachbarten Extremstellen steigt oder fällt er die ganze Zeit, zwischen zwei Wendestellen bleibt die Krümmung gleich.

Für ganzrationale Funktionen (Polynome) ist das besonders ergiebig, weil man fast alles exakt ausrechnen kann. In dieser Lektion setzen wir die Werkzeuge der letzten Lektionen zu einem Ablauf zusammen und ergänzen drei Dinge, die noch fehlen: Symmetrie, Verhalten am Rand und die Art der Nullstellen.

Vermute zuerst

Die Funktion $f(x) = x(x - 3)^2$ hat die Nullstellen $0$ und $3$ . Was macht der Graph an der Stelle $3$ ?

Der Steckbrief von

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

Punkt	x	y
Nullstelle	0	0
Nullstelle	3	0

Blende die Teile einzeln ein. Achte darauf, welcher Graph an den markierten Stellen eine Nullstelle hat.

Fünf Punkte und das Verhalten am Rand genügen, um den ganzen Graphen zu skizzieren: $N(0 \mid 0)$ , $H(1 \mid 4)$ , $W(2 \mid 2)$ , $T(3 \mid 0)$ , von links unten nach rechts oben.

Probier es aus

Die Nullstellen sind eingeblendet. An welcher schneidet der Graph, an welcher berührt er?
Blende die Extrempunkte ein. Welcher fällt mit einer Nullstelle zusammen, und warum muss das so sein?
Blende die Wendepunkte und den Graphen von $f''$ ein. Liegt der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt?

Definition

Ganzrationale Funktion

Eine Funktion der Form

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ mit $a_n \neq 0$

heißt ganzrationale Funktion vom Grad $n$ (auch Polynom). Die Zahlen $a_n, \ldots, a_0$ heißen Koeffizienten, $a_n$ ist der Leitkoeffizient, $a_0$ das Absolutglied. Ganzrationale Funktionen sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und beliebig oft differenzierbar.

Satz

Symmetrie

Kommen in $f$ nur gerade Exponenten vor (das Absolutglied zählt als $x^0$ ), ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

f(-x) = f(x) \;\;\text{(achsensymmetrisch)}, \qquad f(-x) = -f(x) \;\;\text{(punktsymmetrisch)}

Satz

Verhalten für $x \to \pm\infty$

Für große $|x|$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz den Verlauf:

f(x) \approx a_n x^n \quad \text{für } |x| \to \infty

Kurz geprüft

Wie verläuft der Graph von $f(x) = -2x^5 + 100x^4 + 3$ für $x \to +\infty$ ?

Definition

Vielfachheit einer Nullstelle

Lässt sich $f$ als $f(x) = (x - x_0)^k \cdot g(x)$ schreiben mit $g(x_0) \neq 0$ , dann heißt $x_0$ eine $k$ -fache Nullstelle von $f$ .

Bei ungeradem $k$ (einfach, dreifach, ...) wechselt $(x - x_0)^k$ an der Stelle $x_0$ das Vorzeichen, und weil $g$ in der Nähe von $x_0$ sein Vorzeichen behält, wechselt auch $f$ : Der Graph schneidet die $x$ -Achse.
Bei geradem $k$ (doppelt, vierfach, ...) wechselt $(x - x_0)^k$ das Vorzeichen nicht: Der Graph berührt die Achse. Dort ist dann ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Ab $k \geq 2$ ist außerdem $f'(x_0) = 0$ , die Tangente ist waagerecht. Bei $k = 3$ entsteht ein Sattelpunkt auf der Achse.

Schritt für Schritt

Nullstellen eines Polynoms dritten Grades: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Für Gleichungen dritten Grades gibt es im Unterricht keine Lösungsformel. Kennt man aber eine Nullstelle, kann man den Grad durch Polynomdivision um eins senken.

Eine Nullstelle raten. Ganzzahlige Nullstellen müssen das Absolutglied teilen, hier also $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ :
$f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$

Schritt 1 von 3

Schritt für Schritt

Eine vollständige Kurvendiskussion: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Jetzt alles zusammen, in einer Reihenfolge, bei der jeder Schritt den nächsten vorbereitet.

Symmetrie: gemischte Exponenten ( $3$ und $2$ ), also keine Symmetrie zur $y$ -Achse oder zum Ursprung.
$f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq \pm f(x)$

Schritt 1 von 6

Probe mit dem Werkzeug:

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

Punkt	x	y
Nullstelle	−1	0
Hochpunkt	0	4
Wendepunkt	1	2
Tiefpunkt	2	0
Nullstelle	2	0

Blende die Teile einzeln ein. Achte darauf, welcher Graph an den markierten Stellen eine Nullstelle hat.

Der Tiefpunkt von $f'$ liegt bei $x = 1$ : Dort fällt $f$ am steilsten, und dort ist der Wendepunkt.

Probier es aus

Vergleiche die Tabelle mit der Rechnung oben. Stimmen alle Punkte?
Blende $f'$ ein. Wo hat $f'$ seine Nullstellen, wo seinen Tiefpunkt?

Häufige Fehler

Nullstellen von $f$ und $f'$ verwechseln

Man löst $f(x) = 0$ und nennt die Lösungen Extremstellen, oder man löst $f'(x) = 0$ und nennt die Lösungen Nullstellen.

Richtig ist

$f(x) = 0$ : Wo schneidet der Graph die $x$ -Achse? $f'(x) = 0$ : Wo ist die Tangente waagerecht? Das sind verschiedene Fragen. Nur bei mehrfachen Nullstellen fallen die Antworten zusammen.

Häufige Fehler

Durch $x$ teilen statt ausklammern

Bei $x^3 - 4x = 0$ teilt man durch $x$ und erhält nur $x^2 = 4$ , also $x = \pm 2$ .

Richtig ist

Durch $x$ darf man nur teilen, wenn $x \neq 0$ ist, und dabei geht die Lösung $x = 0$ verloren. Richtig ist Ausklammern: $x(x^2 - 4) = 0$ , also $x = 0$ oder $x = \pm 2$ . Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.

Häufige Fehler

Symmetrie am Graphen statt am Term prüfen

Man schließt aus einer Skizze, die ungefähr symmetrisch aussieht, auf Achsensymmetrie.

Richtig ist

Symmetrie muss man nachrechnen: $f(-x)$ bilden und mit $f(x)$ bzw. $-f(x)$ vergleichen. $x^4 + 0{,}1x$ sieht fast achsensymmetrisch aus, ist es aber nicht.

Zusammenfassung

Reihenfolge: Symmetrie, Verhalten am Rand, Achsenschnittpunkte, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Skizze.
Nur gerade Exponenten: achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Nur ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung.
Am Rand bestimmt der Leitterm $a_n x^n$ den Verlauf.
Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet die Achse. Gerade Vielfachheit: Er berührt sie, dort liegt ein Extrempunkt.
Eine geratene Nullstelle (Teiler des Absolutglieds) und Polynomdivision senken den Grad um eins.
Grad $n$ : höchstens $n$ Nullstellen, $n - 1$ Extremstellen, $n - 2$ Wendestellen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ an der Stelle $x = 3$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Funktion hat einen Graphen, der achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele Extremstellen hat $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Der Graph von $f(x) = (x + 2)(x - 1)^3$ ...

Aufgabe 5Numerisch

$x = 2$ ist eine Nullstelle von $f(x) = x^3 - 7x + 6$ . Bestimme die kleinste Nullstelle von $f$ .

Aufgabe 6Numerisch

Gib die $y$ -Koordinate des Wendepunkts von $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ an.

Aufgabe 7Freitext

Führe eine vollständige Kurvendiskussion für $f(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2$ durch und skizziere den Graphen. Nutze die Symmetrie, um Arbeit zu sparen.

Lektion 2.5 · Ableitung und Funktionsuntersuchung

Kurvendiskussion Schritt für Schritt

Definition

Ganzrationale Funktion

Eine Funktion der Form

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ mit $a_n \neq 0$

Satz

Symmetrie

Kommen in $f$ nur gerade Exponenten vor (das Absolutglied zählt als $x^0$ ), ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

f(-x) = f(x) \;\;\text{(achsensymmetrisch)}, \qquad f(-x) = -f(x) \;\;\text{(punktsymmetrisch)}

Beweis

Für einen geraden Exponenten $k$ ist $(-x)^k = x^k$ , denn das Minus kommt eine gerade Anzahl von Malen vor. Für einen ungeraden Exponenten ist $(-x)^k = -x^k$ .

Hat $f$ nur gerade Exponenten, ändert sich also kein Summand, wenn man $x$ durch $-x$ ersetzt: $f(-x) = f(x)$ . Der Punkt bei $-x$ liegt genauso hoch wie der bei $x$ , das ist Spiegelsymmetrie an der $y$ -Achse.

Hat $f$ nur ungerade Exponenten, wechselt jeder Summand das Vorzeichen: $f(-x) = -f(x)$ . Der Punkt bei $-x$ liegt genauso tief, wie der bei $x$ hoch liegt. Das ist Symmetrie bezüglich einer Drehung um $180°$ um den Ursprung.

Gemischte Exponenten wie bei $x^3 + x^2$ ergeben im Allgemeinen keine dieser beiden Symmetrien. (Der Graph kann trotzdem zu einem anderen Punkt symmetrisch sein, etwa jede kubische Funktion zu ihrem Wendepunkt.)

q.e.d.

Satz

Verhalten für $x \to \pm\infty$

Für große $|x|$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz den Verlauf:

f(x) \approx a_n x^n \quad \text{für } |x| \to \infty

Beweis

Man klammert die höchste Potenz aus:

$f(x) = a_n x^n \Bigl(1 + \frac{a_{n-1}}{a_n x} + \ldots + \frac{a_0}{a_n x^n}\Bigr).$

Für $|x| \to \infty$ gehen alle Brüche in der Klammer gegen $0$ , die Klammer also gegen $1$ . Deshalb verhält sich $f$ für große $|x|$ wie $a_n x^n$ . Daraus ergeben sich vier Fälle:

	$a_n > 0$	$a_n < 0$
$n$ gerade	links und rechts nach oben	links und rechts nach unten
$n$ ungerade	von links unten nach rechts oben	von links oben nach rechts unten

q.e.d.

Definition

Vielfachheit einer Nullstelle

Lässt sich $f$ als $f(x) = (x - x_0)^k \cdot g(x)$ schreiben mit $g(x_0) \neq 0$ , dann heißt $x_0$ eine $k$ -fache Nullstelle von $f$ .

Bei ungeradem $k$ (einfach, dreifach, ...) wechselt $(x - x_0)^k$ an der Stelle $x_0$ das Vorzeichen, und weil $g$ in der Nähe von $x_0$ sein Vorzeichen behält, wechselt auch $f$ : Der Graph schneidet die $x$ -Achse.
Bei geradem $k$ (doppelt, vierfach, ...) wechselt $(x - x_0)^k$ das Vorzeichen nicht: Der Graph berührt die Achse. Dort ist dann ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Ab $k \geq 2$ ist außerdem $f'(x_0) = 0$ , die Tangente ist waagerecht. Bei $k = 3$ entsteht ein Sattelpunkt auf der Achse.

Schritt für Schritt

Nullstellen eines Polynoms dritten Grades: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Für Gleichungen dritten Grades gibt es im Unterricht keine Lösungsformel. Kennt man aber eine Nullstelle, kann man den Grad durch Polynomdivision um eins senken.

Eine Nullstelle raten. Ganzzahlige Nullstellen müssen das Absolutglied teilen, hier also $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ :
$f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$
Weil $-1$ eine Nullstelle ist, steckt der Faktor $(x + 1)$ in $f$ . Polynomdivision:
$(x^3 - 3x^2 + 0x + 4) : (x + 1) = x^2 - 4x + 4$
Den Rest faktorisieren:
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Die vollständige Zerlegung zeigt alle Nullstellen mit ihrer Vielfachheit:

f(x) = (x + 1)(x - 2)^2: \quad x_1 = -1 \;(\text{einfach}), \quad x_2 = 2 \;(\text{doppelt})

Schritt für Schritt

Eine vollständige Kurvendiskussion: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Jetzt alles zusammen, in einer Reihenfolge, bei der jeder Schritt den nächsten vorbereitet.

Symmetrie: gemischte Exponenten ( $3$ und $2$ ), also keine Symmetrie zur $y$ -Achse oder zum Ursprung.
$f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq \pm f(x)$
Rand: Leitterm $x^3$ mit positivem Koeffizienten.
$x \to -\infty: f(x) \to -\infty, \qquad x \to +\infty: f(x) \to +\infty$
Achsenschnittpunkte: $f(0) = 4$ , Nullstellen von oben.
$S_y(0 \mid 4), \qquad N_1(-1 \mid 0), \quad N_2(2 \mid 0) \text{ (Berührpunkt)}$
Ableitungen:
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6$
Extrempunkte: $f'(x) = 0$ bei $0$ und $2$ . Prüfen mit $f''$ :
$f''(0) = -6 < 0 \Rightarrow H(0 \mid 4), \qquad f''(2) = 6 > 0 \Rightarrow T(2 \mid 0)$
Wendepunkt: $f''(x) = 0$ bei $x = 1$ , und $f'''(1) = 6 \neq 0$ .
$W(1 \mid 2), \quad f'(1) = -3$

Skizze: Von links unten durch $N_1(-1 \mid 0)$ hinauf zum Hochpunkt $H(0 \mid 4)$ , fallend durch $W(1 \mid 2)$ (dort am steilsten, Steigung $-3$ ) zum Tiefpunkt $T(2 \mid 0)$ auf der Achse, dann nach rechts oben.

Häufige Fehler

Nullstellen von $f$ und $f'$ verwechseln

Man löst $f(x) = 0$ und nennt die Lösungen Extremstellen, oder man löst $f'(x) = 0$ und nennt die Lösungen Nullstellen.

$f(x) = 0$ : Wo schneidet der Graph die $x$ -Achse? $f'(x) = 0$ : Wo ist die Tangente waagerecht? Das sind verschiedene Fragen. Nur bei mehrfachen Nullstellen fallen die Antworten zusammen.

Häufige Fehler

Durch $x$ teilen statt ausklammern

Bei $x^3 - 4x = 0$ teilt man durch $x$ und erhält nur $x^2 = 4$ , also $x = \pm 2$ .

Häufige Fehler

Symmetrie am Graphen statt am Term prüfen

Man schließt aus einer Skizze, die ungefähr symmetrisch aussieht, auf Achsensymmetrie.

Symmetrie muss man nachrechnen: $f(-x)$ bilden und mit $f(x)$ bzw. $-f(x)$ vergleichen. $x^4 + 0{,}1x$ sieht fast achsensymmetrisch aus, ist es aber nicht.

Zusammenfassung

Reihenfolge: Symmetrie, Verhalten am Rand, Achsenschnittpunkte, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Skizze.
Nur gerade Exponenten: achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Nur ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung.
Am Rand bestimmt der Leitterm $a_n x^n$ den Verlauf.
Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet die Achse. Gerade Vielfachheit: Er berührt sie, dort liegt ein Extrempunkt.
Eine geratene Nullstelle (Teiler des Absolutglieds) und Polynomdivision senken den Grad um eins.
Grad $n$ : höchstens $n$ Nullstellen, $n - 1$ Extremstellen, $n - 2$ Wendestellen.

Nullstellen eines Polynoms dritten Grades: f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4f(x)=x3−3x2+4

Eine vollständige Kurvendiskussion: f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4f(x)=x3−3x2+4

Nullstellen von fff und f′f'f′ verwechseln

Durch xxx teilen statt ausklammern

Symmetrie am Graphen statt am Term prüfen

Zusammenfassung

Übungen

Nullstellen eines Polynoms dritten Grades: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Eine vollständige Kurvendiskussion: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$

Nullstellen von $f$ und $f'$ verwechseln

Durch $x$ teilen statt ausklammern