Lektion 2.4

Monotonie, Extrempunkte und Wendepunkte

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • am Vorzeichen von f′f' ablesen, wo eine Funktion steigt und wo sie fällt

  • erklären, warum f′(x0)=0f'(x_0) = 0 für einen Extrempunkt notwendig, aber nicht hinreichend ist

  • Extrempunkte mit dem Vorzeichenwechsel von f′f' und mit der zweiten Ableitung nachweisen

  • Links- und Rechtskurven mit f′′f'' beschreiben und Wendepunkte bestimmen

  • Sattelpunkte und Randextrema erkennen

Ein Höhenprofil lesen. Auf einer Wanderkarte ist neben der Route oft ein Höhenprofil abgedruckt: die Höhe über der zurückgelegten Strecke. Wer das Profil liest, will wissen, wo es bergauf und bergab geht, wo der höchste Punkt liegt, und wo der Anstieg am steilsten ist. Genau diese Fragen beantworten die Ableitungen, und zwar auch dann, wenn man nur den Funktionsterm kennt und keinen Graphen.

  • Bergauf oder bergab ist eine Frage nach dem Vorzeichen der Steigung, also nach f′f'.
  • Gipfel und Täler sind die Stellen, an denen bergauf in bergab übergeht oder umgekehrt.
  • Am steilsten ist es dort, wo die Steigung selbst am größten ist. Das ist eine Frage nach der Änderung der Steigung, also nach f′′f'', der Ableitung der Ableitung.
Vermute zuerst

Eine Funktion ff hat an der Stelle x0x_0 eine waagerechte Tangente, also f′(x0)=0f'(x_0) = 0. Liegt dort sicher ein Hoch- oder Tiefpunkt?

Steigen, Fallen und Krümmen bei f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

Wo f′f' positiv ist, steigt ff. Wo f′f' das Vorzeichen wechselt, hat ff einen Hoch- oder Tiefpunkt. Wo f′′f'' das Vorzeichen wechselt, ändert sich die Krümmung: Das ist der Wendepunkt bei 00, dort fällt ff am steilsten.

Probier es aus

Definition

Monotonie

Eine Funktion ff heißt auf einem Intervall II

  • streng monoton steigend, wenn für alle a<ba < b in II gilt: f(a)<f(b)f(a) < f(b),
  • streng monoton fallend, wenn für alle a<ba < b in II gilt: f(a)>f(b)f(a) > f(b).

In Worten: Weiter rechts ist der Funktionswert immer größer (bzw. immer kleiner). Ohne das Wort „streng“ (also mit ≤\leq statt <<) sind auch waagerechte Stücke erlaubt.

Satz

Monotoniesatz

Ist ff auf einem Intervall II differenzierbar, dann gilt:

f′(x)>0 fu¨r alle x∈I  ⇒  f ist auf I streng monoton steigendf'(x) > 0 \text{ für alle } x \in I \;\Rightarrow\; f \text{ ist auf } I \text{ streng monoton steigend}
Definition

Hochpunkt und Tiefpunkt

Die Stelle x0x_0 heißt lokale Maximalstelle von ff, wenn es ein Intervall um x0x_0 gibt, in dem kein Funktionswert größer als f(x0)f(x_0) ist. Der Punkt H(x0∣f(x0))H(x_0 \mid f(x_0)) heißt dann Hochpunkt. Entsprechend: lokale Minimalstelle und Tiefpunkt. Zusammen heißen sie Extremstellen und Extrempunkte.

„Lokal“ heißt: Es geht nur um die Umgebung. Ein Hochpunkt ist ein Gipfel, nicht unbedingt der höchste Berg des ganzen Gebirges. Der größte Wert auf dem ganzen Definitionsbereich heißt globales Maximum.

Satz

Notwendige Bedingung

Ist ff differenzierbar und hat ff an der Stelle x0x_0 (im Inneren des Definitionsbereichs) eine Extremstelle, dann ist

f′(x0)=0f'(x_0) = 0
Satz

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel

Sei f′(x0)=0f'(x_0) = 0. Wechselt f′f' an der Stelle x0x_0 das Vorzeichen

von + nach −  ⇒  Hochpunkt,von − nach +  ⇒  Tiefpunkt\text{von } + \text{ nach } - \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt}, \qquad \text{von } - \text{ nach } + \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt}
Schritt für Schritt

Alle Extrempunkte von f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

Wir gehen in drei Schritten vor: Kandidaten finden, Vorzeichen prüfen, Punkte angeben.

  1. Ableitung und Kandidaten:

    f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)=0⇒x1=−1,  x2=1f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -1, \; x_2 = 1
Schritt 1 von 3

Die Krümmung. Fährt man mit dem Fahrrad den Graphen von links nach rechts entlang, muss man in manchen Abschnitten nach links lenken und in anderen nach rechts. Beim Linkslenken dreht sich die Fahrtrichtung gegen den Uhrzeigersinn, die Tangente wird also immer steiler (oder weniger steil fallend): f′f' wächst. Beim Rechtslenken wird f′f' kleiner.

Ob f′f' wächst oder fällt, sagt die Ableitung von f′f', die zweite Ableitung f′′f''. Mit ihr wird aus der Fahrrad-Vorstellung eine Rechnung.

Definition

Linkskurve, Rechtskurve, Wendepunkt

Der Graph von ff ist auf einem Intervall eine

  • Linkskurve (konvex), wenn f′f' dort streng monoton steigt. Das ist sicher der Fall, wenn f′′(x)>0f''(x) > 0 ist.
  • Rechtskurve (konkav), wenn f′f' dort streng monoton fällt. Das ist sicher der Fall, wenn f′′(x)<0f''(x) < 0 ist.

Ein Punkt, an dem der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendepunkt. Dort hat f′f' einen Hoch- oder Tiefpunkt: Die Steigung ist lokal am größten oder am kleinsten. Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Ist sie waagerecht, nennt man den Wendepunkt Sattelpunkt.

Satz

Extrempunkte mit der zweiten Ableitung

Ist f′(x0)=0f'(x_0) = 0, dann gilt

f′′(x0)<0  ⇒  Hochpunkt,f′′(x0)>0  ⇒  Tiefpunktf''(x_0) < 0 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt}, \qquad f''(x_0) > 0 \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt}
Kurz geprüft

Für f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2 ist f′(x)=4x3−4xf'(x) = 4x^3 - 4x und f′′(x)=12x2−4f''(x) = 12x^2 - 4. Was liegt an der Stelle x=0x = 0 vor?

Satz

Wendepunkte bestimmen

Notwendig für eine Wendestelle x0x_0 ist f′′(x0)=0f''(x_0) = 0. Hinreichend ist zusätzlich einer der beiden Tests:

f′′ wechselt bei x0 das Vorzeichenoderf′′′(x0)≠0f'' \text{ wechselt bei } x_0 \text{ das Vorzeichen} \qquad \text{oder} \qquad f'''(x_0) \neq 0
Beispiel

Wendepunkt und Wendetangente von f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

  • f′′(x)=6x=0f''(x) = 6x = 0 ergibt x=0x = 0.
  • f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0, also ist 00 eine Wendestelle. Mit f(0)=0f(0) = 0 ist der Wendepunkt W(0∣0)W(0 \mid 0).
  • Für x<0x < 0 ist f′′<0f'' < 0 (Rechtskurve), für x>0x > 0 ist f′′>0f'' > 0 (Linkskurve).
  • Steigung im Wendepunkt: f′(0)=−3f'(0) = -3. Die Wendetangente ist t(x)=−3xt(x) = -3x.
W(0∣0),t(x)=−3xW(0 \mid 0), \qquad t(x) = -3x

An der Stelle 00 fällt ff am steilsten: Die Steigung −3-3 ist der kleinste Wert, den f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 annimmt. Das passt dazu, dass der Wendepunkt eine Extremstelle von f′f' ist.

Besondere Punkte von f(x)=x4−4x3+10f(x) = x^4 - 4x^3 + 10

Bei x=0x = 0 berührt der Graph von f′f' die Achse nur und bleibt darunter: kein Vorzeichenwechsel, kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt. Bei x=3x = 3 wechselt f′f' von −- nach ++: Tiefpunkt T(3∣−17)T(3 \mid -17).

Probier es aus

Häufige Fehler

Nur f′(x)=0f'(x) = 0 lösen

Man löst f′(x)=0f'(x) = 0 und erklärt alle Lösungen zu Extremstellen.

Richtig ist

Die Lösungen sind nur Kandidaten. Jeder muss mit dem Vorzeichenwechsel oder mit f′′f'' geprüft werden. Bei x4−4x3+10x^4 - 4x^3 + 10 fällt so der Kandidat 00 heraus.

Häufige Fehler

Aus f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 auf „kein Extremum“ schließen

Man findet f′(0)=0f'(0) = 0 und f′′(0)=0f''(0) = 0 und schließt: kein Extremum, also Sattelpunkt.

Richtig ist

Der Test mit f′′f'' versagt hier nur, er sagt nicht „nein“. f(x)=x4f(x) = x^4 hat bei 00 einen Tiefpunkt, obwohl f′′(0)=0f''(0) = 0 ist. Dann den Vorzeichenwechsel von f′f' prüfen: f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3 wechselt von −- nach ++.

Häufige Fehler

Nur die Stelle angeben

Man schreibt „Hochpunkt bei x=−1x = -1“ und hört auf.

Richtig ist

Ein Punkt hat zwei Koordinaten. Die yy-Koordinate bekommt man durch Einsetzen in ff, nicht in f′f' (dort käme 00 heraus). Richtig: H(−1∣2)H(-1 \mid 2).

Zusammenfassung

  • f′>0f' > 0 auf einem Intervall: ff steigt dort streng. f′<0f' < 0: ff fällt streng.

  • Notwendig für eine Extremstelle im Inneren: f′(x0)=0f'(x_0) = 0. Das liefert nur Kandidaten.

  • Hinreichend: Vorzeichenwechsel von f′f' (++ nach −- Hochpunkt, −- nach ++ Tiefpunkt) oder f′′(x0)≠0f''(x_0) \neq 0 (<0< 0 Hochpunkt, >0> 0 Tiefpunkt).

  • Bei f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 entscheidet nur der Vorzeichenwechsel.

  • f′′>0f'' > 0: Linkskurve, f′′<0f'' < 0: Rechtskurve. Wendepunkte sind Extremstellen von f′f': f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 und Vorzeichenwechsel von f′′f'' (oder f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0).

  • Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt.

  • Auf einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte vergleichen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Bestimme die xx-Koordinate des Tiefpunkts von f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7.

Aufgabe 2Numerisch

Bestimme die Wendestelle von f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Aufgabe 3Multiple Choice

Die Funktion ff hat an der Stelle x0x_0 die Werte f′(x0)=0f'(x_0) = 0 und f′′(x0)=−5f''(x_0) = -5. Was liegt dort vor?

Aufgabe 4Numerisch

Wie groß ist die yy-Koordinate des Hochpunkts von f(x)=−x3+3x2+1f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1?

Aufgabe 5Multiple Choice

Was gilt für f(x)=x5f(x) = x^5 an der Stelle 00?

Aufgabe 6Numerisch

An welcher Stelle steigt der Graph von f(x)=−x3+6x2−5f(x) = -x^3 + 6x^2 - 5 am stärksten?

Aufgabe 7Numerisch

Welchen größten Wert nimmt f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x auf dem Intervall [−2;1,5][-2; 1{,}5] an?

Aufgabe 8Freitext

Zeige: Jede ganzrationale Funktion dritten Grades f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d mit a≠0a \neq 0 hat genau einen Wendepunkt. Zeige außerdem, dass ihr Graph punktsymmetrisch zu diesem Wendepunkt ist, am Beispiel f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.