Lektion 2.3

Tangente und Normale

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • die Gleichung der Tangente an einer Stelle x0x_0 aus Punkt und Steigung aufstellen und erklären, woher jedes Stück kommt

  • begründen, warum zwei Geraden genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1-1 ist

  • die Normale an einer Stelle aufstellen, auch im Sonderfall einer waagerechten Tangente

  • Tangenten mit vorgegebener Steigung und Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Graphen bestimmen

  • den Steigungswinkel einer Tangente berechnen

Was passiert, wenn man loslässt. Ein Auto fährt durch eine Kurve. Auf einer Eisplatte verliert es plötzlich jede Haftung: Ab diesem Moment wirkt keine Kraft mehr, die es auf der Kurve hält, und es rutscht geradeaus weiter. In welche Richtung? Genau in die Richtung, in die es sich in diesem Augenblick bewegt hat. Dasselbe passiert mit einem Stein, den man an einer Schnur im Kreis schleudert und dann loslässt, oder mit den Funken, die von einer Schleifscheibe fliegen.

Diese Richtung ist die Tangente: die Gerade, die sich in einem Punkt so eng an die Kurve anschmiegt, dass sie dort dieselbe Richtung hat. In der Lektion über die Ableitung haben wir gesehen, dass ihre Steigung f′(x0)f'(x_0) ist. Jetzt machen wir aus dieser Steigung eine vollständige Geradengleichung, mit der man rechnen kann.

Und senkrecht dazu. Oft braucht man nicht die Richtung entlang der Kurve, sondern die Richtung quer dazu. Ein Lichtstrahl, der auf einen gekrümmten Spiegel fällt, wird so reflektiert, dass Einfallswinkel und Ausfallswinkel gleich sind, gemessen zum Lot, also zu der Geraden, die im Auftreffpunkt senkrecht auf dem Spiegel steht. Wer den kürzesten Weg von einem Punkt zu einer Kurve sucht, landet ebenfalls bei einer Geraden, die die Kurve senkrecht trifft. Diese Senkrechte zur Tangente heißt Normale (von lateinisch *norma*, Winkelmaß).

Vermute zuerst

An den Graphen von f(x)=12x2f(x) = \tfrac{1}{2}x^2 wird bei x0=2x_0 = 2 die Tangente gelegt. Der Berührpunkt ist P(2∣2)P(2 \mid 2). Wo schneidet diese Tangente die yy-Achse?

Tangente und Normale an f(x)=12x2f(x) = \tfrac{1}{2}x^2

Die durchgezogene Gerade ist die Tangente in PP. Die Normale, wenn eingeblendet, steht in PP senkrecht auf ihr. Je steiler die Tangente, desto flacher die Normale.

Probier es aus

Schritt für Schritt

Die Tangentengleichung herleiten

Eine Gerade ist festgelegt, wenn man einen ihrer Punkte und ihre Steigung kennt. Für die Tangente an der Stelle x0x_0 kennen wir beides.

  1. Der Punkt: Die Tangente berührt den Graphen in PP, also liegt PP auf dem Graphen.

    P(x0∣f(x0))P\bigl(x_0 \mid f(x_0)\bigr)
Schritt 1 von 4
Definition

Tangente

Sei ff an der Stelle x0x_0 differenzierbar. Die Gerade

t(x)=f′(x0) (x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)

heißt Tangente an den Graphen von ff im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0 \mid f(x_0)). PP heißt Berührpunkt, x0x_0 Berührstelle.

Die Tangente hat mit dem Graphen in PP zwei Dinge gemeinsam: den Funktionswert, t(x0)=f(x0)t(x_0) = f(x_0), und die Steigung, t′(x0)=f′(x0)t'(x_0) = f'(x_0). Genau diese beiden Bedingungen legen sie fest.

Beispiel

Tangente an f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x bei x0=1x_0 = 1

Drei Zahlen werden gebraucht: x0x_0, f(x0)f(x_0) und f′(x0)f'(x_0).

  • Funktionswert: f(1)=1−2=−1f(1) = 1 - 2 = -1, also P(1∣−1)P(1 \mid -1).
  • Ableitung: f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2, also f′(1)=1f'(1) = 1.
  • Einsetzen: t(x)=1⋅(x−1)+(−1)=x−2t(x) = 1 \cdot (x - 1) + (-1) = x - 2.
t(x)=x−2t(x) = x - 2

Probe: t(1)=−1=f(1)t(1) = -1 = f(1), der Punkt stimmt. Die Steigung von tt ist 1=f′(1)1 = f'(1). Ob man am Ende ausmultipliziert, ist Geschmackssache. Die Form m(x−x0)+f(x0)m(x - x_0) + f(x_0) zeigt den Berührpunkt direkt, die Form mx+bmx + b den yy-Achsenabschnitt.

Kurz geprüft

Stelle die Tangente an f(x)=x3f(x) = x^3 an der Stelle x0=−1x_0 = -1 auf und vereinfache sie zu mx+bmx + b.

Potenzen mit ^, Wurzel als sqrt(x), Brüche mit / und Klammern.

Häufige Fehler

Die Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt

Man denkt, eine Tangente habe mit dem Graphen genau einen gemeinsamen Punkt, und eine Gerade mit zwei gemeinsamen Punkten könne keine Tangente sein.

Richtig ist

Beim Kreis stimmt das, bei anderen Kurven nicht. Die Tangente t(x)=3x+2t(x) = 3x + 2 an f(x)=x3f(x) = x^3 bei x0=−1x_0 = -1 schneidet den Graphen noch einmal: x3=3x+2x^3 = 3x + 2 hat die Lösungen x=−1x = -1 und x=2x = 2. Es kommt nur darauf an, dass die Gerade im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Graph hat. Umgekehrt hat die Gerade x=0x = 0 mit der Parabel y=x2y = x^2 nur einen Punkt gemeinsam und ist trotzdem keine Tangente.

Von der Tangente zur Normalen. Die Normale geht ebenfalls durch PP, steht aber senkrecht auf der Tangente. Um ihre Gleichung aufzustellen, fehlt nur ihre Steigung. Wir brauchen also eine Antwort auf eine Frage, die mit Analysis zunächst nichts zu tun hat: Wenn eine Gerade die Steigung mm hat, welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf ihr steht?

Im Versuch oben hast du die Antwort vielleicht schon gesehen: Steigt die Tangente mit 22, fällt die Normale mit −12-\tfrac{1}{2}. Steigt sie mit 13\tfrac{1}{3}, fällt die Normale mit −3-3. Das Produkt ist jedes Mal −1-1.

Satz

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden mit den Steigungen m1m_1 und m2m_2 stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn

m1⋅m2=−1,alsom2=−1m1(m1≠0)m_1 \cdot m_2 = -1, \qquad \text{also} \qquad m_2 = -\frac{1}{m_1} \quad (m_1 \neq 0)
Definition

Normale

Die Normale an den Graphen von ff im Punkt P(x0∣f(x0))P(x_0 \mid f(x_0)) ist die Gerade durch PP, die senkrecht auf der Tangente steht. Ist f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0, dann ist

n(x)=−1f′(x0) (x−x0)+f(x0).n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)}\,(x - x_0) + f(x_0).

Ist f′(x0)=0f'(x_0) = 0, dann ist die Tangente waagerecht und die Normale die senkrechte Gerade x=x0x = x_0. Sie ist keine Funktion von xx und hat keine Steigung.

Beispiel

Normale an f(x)=x2f(x) = x^2 bei x0=1x_0 = 1

  • Punkt: f(1)=1f(1) = 1, also P(1∣1)P(1 \mid 1).
  • Tangentensteigung: f′(x)=2xf'(x) = 2x, also f′(1)=2f'(1) = 2.
  • Normalensteigung: mn=−12m_n = -\tfrac{1}{2}.
  • Einsetzen: n(x)=−12(x−1)+1=−12x+32n(x) = -\tfrac{1}{2}(x - 1) + 1 = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}.
n(x)=−12x+32n(x) = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}

Die Tangente an derselben Stelle ist t(x)=2x−1t(x) = 2x - 1. Probe: 2⋅(−12)=−12 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1, und beide Geraden gehen durch P(1∣1)P(1 \mid 1).

Kurz geprüft

Wie lautet die Steigung der Normalen an f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x bei x0=2x_0 = 2?

Häufige Fehler

Nur das Vorzeichen umdrehen

Man nimmt als Normalensteigung −f′(x0)-f'(x_0), bei f′(x0)=2f'(x_0) = 2 also −2-2.

Richtig ist

Eine Gerade mit Steigung −2-2 ist nur an der yy-Achse gespiegelt, nicht um 90°90° gedreht. Senkrecht heißt negativer Kehrwert: −12-\tfrac{1}{2}. Probe mit dem Produkt: 2⋅(−2)=−4≠−12 \cdot (-2) = -4 \neq -1, aber 2⋅(−12)=−12 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1.

Die Aufgabe umdrehen. Bisher war der Berührpunkt gegeben und die Tangente gesucht. In vielen Aufgaben ist es umgekehrt: Man kennt eine Eigenschaft der Tangente, etwa ihre Steigung oder einen Punkt, durch den sie gehen soll, und sucht die Stelle, an der sie den Graphen berührt. Der Trick ist in beiden Fällen derselbe: Man schreibt die Berührstelle als Unbekannte uu und übersetzt die Bedingung in eine Gleichung für uu.

Schritt für Schritt

Tangente mit vorgegebener Steigung

An den Graphen von f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x sollen alle Tangenten gelegt werden, die parallel zur Geraden y=9xy = 9x verlaufen.

  1. Parallel heißt: gleiche Steigung. Gesucht sind also die Stellen uu mit f′(u)=9f'(u) = 9:

    3u2−3=93u^2 - 3 = 9
Schritt 1 von 4
Schritt für Schritt

Tangente durch einen Punkt außerhalb des Graphen

Vom Punkt Q(1∣−3)Q(1 \mid -3), der unterhalb der Parabel f(x)=x2f(x) = x^2 liegt, sollen Tangenten an die Parabel gelegt werden. Man weiß nicht, wo sie berühren. Also nennt man die Berührstelle uu.

  1. Tangente an der unbekannten Stelle uu, mit f(u)=u2f(u) = u^2 und f′(u)=2uf'(u) = 2u:

    tu(x)=2u (x−u)+u2=2u x−u2t_u(x) = 2u\,(x - u) + u^2 = 2u\,x - u^2
Schritt 1 von 4
Tangenten von Q(1∣−3)Q(1 \mid -3) an f(x)=x2f(x) = x^2

Unterhalb einer nach oben geöffneten Parabel gibt es von jedem Punkt aus zwei Tangenten, auf der Parabel eine, oberhalb keine. Die Gleichung u2−2xQu+yQ=0u^2 - 2x_Q u + y_Q = 0 zeigt das: Ihre Diskriminante ist xQ2−yQx_Q^2 - y_Q.

Probier es aus

Satz

Wo die Tangenten einer Parabel y=ax2y = ax^2 die yy-Achse treffen

Die Tangente an f(x)=ax2f(x) = a x^2 (mit a≠0a \neq 0) an der Stelle x0x_0 schneidet die yy-Achse im Punkt (0∣−f(x0))\bigl(0 \mid -f(x_0)\bigr).

Häufige Fehler

Den Punkt nicht auf den Graphen setzen

Gegeben ist nur die Stelle x0=2x_0 = 2. Man setzt in die Tangentengleichung f′(2)f'(2) ein, aber für den Funktionswert einfach 22 oder 00.

Richtig ist

Der Berührpunkt liegt auf dem Graphen. Seine yy-Koordinate ist f(x0)f(x_0) und muss ausgerechnet werden. Gute Gewohnheit: Vor der Gleichung die drei Zahlen x0x_0, f(x0)f(x_0) und f′(x0)f'(x_0) hinschreiben.

Häufige Fehler

In f′f' statt in f′(x0)f'(x_0) einsetzen

Man schreibt t(x)=f′(x) (x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x)\,(x - x_0) + f(x_0) und erhält bei f(x)=x2f(x) = x^2, x0=1x_0 = 1 die „Tangente“ 2x(x−1)+12x(x - 1) + 1.

Richtig ist

Die Steigung einer Geraden ist eine Zahl, kein Term in xx. Wer f′(x)f'(x) stehen lässt, bekommt eine Parabel statt einer Geraden. Erst x0x_0 in f′f' einsetzen, dann die Gleichung aufstellen: t(x)=2(x−1)+1=2x−1t(x) = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1.

Zusammenfassung

  • Die Tangente an der Stelle x0x_0 geht durch P(x0∣f(x0))P(x_0 \mid f(x_0)) und hat die Steigung f′(x0)f'(x_0): t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).

  • Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1 ist. Bewiesen durch Drehen des Steigungsdreiecks um 90°90°.

  • Die Normale geht durch denselben Punkt und hat die Steigung −1f′(x0)-\frac{1}{f'(x_0)}. Ist f′(x0)=0f'(x_0) = 0, ist sie die senkrechte Gerade x=x0x = x_0.

  • Tangente mit vorgegebener Steigung mm: die Gleichung f′(u)=mf'(u) = m lösen.

  • Tangente durch einen Punkt QQ außerhalb: die Tangente an der unbekannten Stelle uu aufstellen, QQ einsetzen, nach uu auflösen.

  • Steigungswinkel: tan⁡α=f′(x0)\tan \alpha = f'(x_0).

  • Eine Tangente kann den Graphen an anderer Stelle noch einmal schneiden. Entscheidend ist nur die gemeinsame Steigung im Berührpunkt.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Stelle die Tangente an f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 an der Stelle x0=3x_0 = 3 auf. Schreib sie in der Form mx+bmx + b.

Potenzen mit ^, Wurzel als sqrt(x), Brüche mit / und Klammern.

Aufgabe 2Numerisch

Die Normale an f(x)=x2f(x) = x^2 im Punkt P(2∣4)P(2 \mid 4) schneidet die yy-Achse. Bei welchem yy-Wert?

Aufgabe 3Numerisch

Unter welchem Winkel (in Grad) schneidet die Tangente an f(x)=12x2f(x) = \tfrac{1}{2}x^2 bei x0=1x_0 = 1 die xx-Achse?

Aufgabe 4Multiple Choice

In welchem Punkt des Graphen von f(x)=x2f(x) = x^2 ist die Tangente parallel zur Geraden y=6x+1y = 6x + 1?

Aufgabe 5Numerisch

Die Tangente an f(x)=x3f(x) = x^3 bei x0=1x_0 = 1 schneidet den Graphen an einer zweiten Stelle. An welcher?

Aufgabe 6Numerisch

Die Tangente an f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} im Punkt P(2∣12)P(2 \mid \tfrac{1}{2}) bildet mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

Aufgabe 7Freitext

Vom Punkt Q(0∣c)Q(0 \mid c) mit c<0c < 0 werden die beiden Tangenten an die Parabel f(x)=x2f(x) = x^2 gelegt. Bestimme ihre Gleichungen in Abhängigkeit von cc. Für welches cc stehen die beiden Tangenten senkrecht aufeinander?